同次形常微分方程式の解き方についての質問です。

質問

同次形常微分方程式の解き方についての質問です。

同次形常微分方程式の解き方で、関数をxで割るという操作が出てきます。
この操作に疑問を感じます。
「x=０」のときは考慮しなくていいのでしょうか？

ウェブ上で調べたところ、xは恒等的に０でないので、xで割るという操作は問題ないと説明されていました。
しかし、「xは恒等的に０でないから、xで割ってよい」となる理由がよく分かりません。
恒等的に０でなくても、xは変数なので「x＝０」となるときがあります。
そのときを考えなくてもいいのか、と思ってしまいます。

基本的な事なのか、その理由について探すことができませんでした。
教科書では、そもそもxで割るという事を当たり前のように行っています。
なので分からなくて困っています。
分かる方、誰か教えてください、お願いします。

回答No.2

aabel

与えられた微分方程式を満たす関数を求めているわけですよね。
xは変数で「x＝０」となるときもありますが、例えば開区間(2，5)で満たす関数を探す場合この間の変数xは0にはなりませんから、xで割るという操作は許されますよね。で、満たす関数がみつかれば、(2，5)では解の関数が得られたことになります。
で、一般的には、x＝０だけを除いたx軸の残りの集合で関数を求めて、この間の変数xは0にはなりませんから、xで割るという操作は許されます。で、満たす関数がみつかれば、x＝０だけを除いたx軸の残りの集合では解の関数が得られたことになります。
得られた関数にx＝０を代入しても微分方程式を満たせばx＝０も含むx軸全体で解の関数が得られたことになります。
解の関数の定義域は問題により色々ありえます。x＝０を含まない場合もあるのでは。
具体的な、やさしい例題と解の関数があれば、説明できるかもしれません。

回答No.1

hachijo

同次形常微分方程式に限らず、次のような例も当てはまりますよね。

「a(x^2-x)をxで割ると、商がa(x-1)、余りが0になる。けど、x=0だったら0で割ったことになるからxで割ったらだめなんじゃないか？」

言われてみると確かにその通りです。ですが、「xは恒等的に0でないから、xで割ってよい」といわれると、ああなるほどと思ってしまいます。

これが例えば定数aで割るときには、aは定数なので、何か一つの値をとるもの、確定的に0という値をとりうるため、場合分けをしなければならないのだと思います。

それに対して、変数xで割るときには、xが取りうる値全てを表しているから、暗黙のうちに「xで割るのならx≠0」とされて、あとから結果を見て「ああx＝0でも大丈夫だな」なら放置、「あれ？x＝0だと結果合わなくないか？」という場合には再考するって感じなんじゃないでしょうか。もっとも、後者のような例はあまりないと思いますが。

あまり自信がないので、参考程度にしてもらえると幸いです。

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど、なんとなくは言っている事は分かります。
でも、やっぱり完全に納得は出来ません…

まあ、そんな細かい事は気にしないでもいいのかもしれませんが…
きちんと納得できるような理由が欲しいですね。

（回答してもらったのに納得できないなんて言ってごめんなさい。回答には感謝しています。）