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微分で変数を0にしたとき
微分で変数を0にしたとき 下記式の等号がどうして成り立つのかわかりません。
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- alice_44
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難しいかな？ Φ(t) の導関数を Φ'(t) と書くとして、 合成関数の微分公式から dΦ(x+a)/da = Φ'(x+a) です。 これに a = 0 を代入すれば、dΦ(x+a)/da|a=0 = Φ'(x)。 もともと、Φ'(x) = dΦ(t)/dt|t=x ですよね。 習慣上、x が変数で a は定数であるような気がするから 違和感を覚えるだけだと思います。気のせいですよ。 同じ式でも、変数の文字を替えて dΦ(z+c)/dz|z=0 = dΦ(z)/dz|z=c とでも書けば、 特に違和感はないでしょう？
お礼
ご回答いただき、誠にありがとうございます。 確かに言われてみればそうですね。 いまいちしっくりこないので、もう少し自分で考えて見ます。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
質問の式は、正しいのですが、 右辺での x の使い方が不親切であるために 読み難くなってしまっています。 dΦ(x+a)/da|a=0 = dΦ(t)/dt|t=x とでも 書けば、多少はマシかもしれません。 左辺は、Φ(t) に t = x+a を代入した 合成関数の a = 0 での傾きを表しています。 右辺は、Φ(t) の t = x での傾きです。 この二つが一致することは、 合成関数の微分公式から示すことができます。
お礼
ご回答いただきありがとうございます。 新たな見方を示唆していただけました。 ＞この二つが一致することは、 ＞合成関数の微分公式から示すことができます。 とある部分がよくわかりませんでした。
- hachijo
- ベストアンサー率58% (20/34)
下では導出について書きましたが、「どうして成立するのか？」については触れていませんでした。 分かりやすくするために、元の式のxとaを読み替えます。すると、 df(x+a)/dx |x=0 = df(a)/da となります。これは何を表しているでしょうか。 左辺は、関数f(x+a)のx=0における傾き（微分）を、 右辺は、関数f(x)のx=aにおける傾き（微分）を示しています これはグラフを描いた方が分かりやすいと思います。関数f(x+a)のグラフは、f(x)のグラフをx軸方向に-aだけ移動したものです。なんでもいいので、実際に描いてみてください。 要は「同じグラフの同じ点での接線の傾きは一緒」みたいなことを示しています。
お礼
ご回答いただき、ありがとうございます。 ここに御礼申し上げます。
補足
詳しいご回答をありがとうございます。 df(x+a)/dx |x=0 = df(a)/da の右辺が「関数f(x)のx=aにおける傾き（微分）を示している」というのがわかりません。 df(a)/da=df(x)/dx|x=a と考えてよいのでしょうか？ 分子のxにaが入るのはわかりますが、分母のxにもaが入ってしまうのは、 なんだか見ていて変な気分になります。
- hachijo
- ベストアンサー率58% (20/34)
微分の定義式df(x)/dx = lim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h について （１）変数xをaに置き換える df(a)/da = lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h （２）aをa+xに置き換える df(a+x)/da = lim(h→0) (f(a+x+h)-f(a+x))/h （３）右辺にa=0を代入する df(a+x)/da|a=0 = lim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h =df(x)/dx 元の式の左辺の分母がdaとなっていることから、(１)の操作に気づけると思います。
お礼
ご回答いただき、ありがとうございます。 ここに御礼申し上げます。
補足
ご回答いただき、まことにありがとうございます。 （２）aをa+xに置き換える df(a+x)/da = lim(h→0) (f(a+x+h)-f(a+x))/h の操作で、左辺の分母はd(a+x)ではないのでしょうか？ なぜdaとできるのでしょうか？
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