微分 2変数の微分

質問

S = a^2 - a^2・tanθ - 1/2(a^2・tan(π/2 - 2θ))で面積を表される図形があります。
この時、aは正方形の一辺であり、θは正方形内部の角度(π/4>θ>π/8)です。
(正確には、正方形を、一つの頂点で二つに折った時の、三角形になる側の頂点の角度ですが、この際それはどうでもいいかと思います。)

Sの最大値を取るθ求めたいのですが、tan(π/2 - 2θ)は加法定理で求められないため、微分して増減表を書くことを考えています。
この場合、θはaの関数になると思うのですが、Sの微分はどのような式になるのでしょうか?

θについてだけ微分すれば良いのでしょうか。
それとも、aについてだけ微分すればいいのでしょうか。
それとも、陰関数の微分のように、θについてaで微分しなければならないため、aとtanθの正確な関係性が分からないため、このままでは求められないのでしょうか。

理由と共に教えていただければ嬉しいです。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

＞S = a^2 - a^2・tanθ - 1/2(a^2・tan(π/2 - 2θ))で面積

＞aは正方形の一辺であり、θは正方形内部の角度(π/4>θ>π/8)です

S = a^2 - a^2・tanθ - 1/2(a^2・tan(π/2 - 2θ))
= a^2 - a^2・tanθ -(a^2/2)tan(π/2 - 2θ)
=a^2[1-tanθ-tan(π/2 - 2θ)/2)

tan(π/2 - 2θ)=cot(2θ)=(cos^2θ-sin^2θ)/(2sinθcosθ)=(1-tan^2θ)/(2tanθ)

S=a^2[1-tanθ-tan(π/2 - 2θ)/2)=a^2[1-t-(1-t^2)/4t]　　（tanθ＝ｔ）
=a^2(-3t^2+4t-1)/4t

aについては単調増加なので最大最少を考えるときは

θの増加に伴うSの変化だけ考えればよい。

(π/4>θ>π/8)よりt=tanθの変域を求め

f(t)=(-3t^2+4t-1)/4tの挙動を調べればよい。

お礼

なるほど。
aは条件から考えても、単調増加しかしないから、ここではaをθで微分しなくても分かる、ということですね。
ありがとうございました!