aを定数とするとき、次の方程式を解け。 a^2x+1=a(x+1)

質問

aを定数とするとき、次の方程式を解け。 a^2x+1=a(x+1)　

答えは
a≠０　a≠１の時、X=1／a

a＝0の時、方程式は、０・X=-1
ゆえに解なし

a＝1の時、方程式は、0・X=0
ゆえにすべての実数

となってます。

なんですけど
これに質問があります

１、何でこんな前置きが必要なのか？a≠０　a≠１の時、X=1／a
a≠０の時　と　a＝０の時と書き始めないのか？

回答No.2

goomachan · ベストアンサー

こういうことです。
方程式を解くときに、x = □　の形に式変形するでしょ。
同じようにやります。

a^2 x +1 =a(x+1)
(a^2 -a)x = a-1
a(a-1)x = a-1 　　←　(#) となります。

ここで、x = と普通は、やってしまいます。
そうするとダメなんです。0 で割ってはいけないというルールがあるから…

そこで、場合分けします。
(1) a ≠ 0 , a ≠ 1 のとき、(#)の x の係数a(a-1) が0 ではないので、
　　　割り算して 　x = 1/a

(2) a = 0 のとき、 0 × (0-1)× x = 0-1
0 ×　x = -1 　となり、　不能で、こんなxはない。解なし。

(3) a = 1 のとき、　1 × (1-1) ×　x = 1-1
0 × x = 0 となり、　すべての実数x でなりたち、不定。

という風になります。
いいかなあ？？？

回答No.1

hachijo

おっしゃるとおり、思いつきで場合分けされても困りますよね。
場合分けはそうする必要があることを示されるべきだと思います。

この場合、xについて整理するとその必要性がわかります。

a^2x+1=a(x+1)
(a^2-a)x=a-1
a(a-1)x=a-1

(a-1)(ax-1)=0 …（☆）

☆を見ると、a=1の場合とa=0の場合が特殊なケースであることが分かります。

模範解答は、ちょっと自然とは言いがたいですね。
(☆)式から、「a=1の場合」「a=0の場合」「a≠0かつa≠1の場合」の順に書くべきだと思います。