ルートの積分について質問です。

質問

ルートの積分について質問です。

∫1 / √(a^2+b^2+a^2*t^2) dt　　の解き方がわかりません。

分かる方がいれば、ご教授願います。

回答No.4

alice_44

書き損じ： x = tanθ

回答No.3

alice_44

ルートの中身をなるべく外に出して簡略化すると、
√(a^2 + b^2 + a^2 t^2) = ac √{ 1 + (t/c)^2 }　ただし c = { √(a^2 + b^2) }/a
と書ける。これを使うと、
∫dt/√(a^2 + b^2 + a^2 t^2) = (1/a) ∫(dt/c)/√{ 1 + (t/c)^2 }
となって、
∫dx/√(1 + x^2) が積分できますか？ という問題になる。
この積分は、公式として知っている人も多いが、
x = sinθ で置換積分すれば、求められる。

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。

簡単化すれば見たことのある形になりました。

回答No.2

spring135

(a^2+b^2)/a^2=c^2とおくと
∫1 / √(a^2+b^2+a^2*t^2) dt=∫1 / a√(c^2+t^2) dt=log|x+√(t^2+c^2)|/a+const
=arcsin(t/c)/a+const
∫1 / √(c^2+t^2) dt=log|x+√(t^2+c^2)|は微分して証明

お礼

(a^2+b^2)/a^2=c^2と置くことで
　　∫(1/√(x^2+A))dx = log |x+√(x^2+A)| + C
の形になるんですね。

大変助かりました。
ありがとうございます。

回答No.1

info22_

I=∫1 / √(a^2+b^2+a^2*t^2) dt
=1/√(a^2+b^2)∫1 / √(1+k^2t^2) dt
(但し 0<k=|a|/√(a^2+b^2)≦1)
t=tan(u)/kと置換。dt=(1/k)(sec^2(u))du
√(1+k^2t^2)=sec(u),u=tan^-1(kt)
なので
I=(1/|a|)∫sec(u)du
=(1/|a|)log(tan(u)+sec(u))+C
u=tan^-1(kt)なので

I=(1/|a|)log(√(1+k^2t^2)+kt) +C
=(1/|a|)sinh^-1(kt) +C

これにk=|a|/√(a^2+b^2) を代入すれば良い。

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。

参考にさせて頂き、もう一度を解いてみます。