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積分

∫2t√(a^2-t^2)dt[y,a]の積分のとき方を教えて下さい。tをasinθとしてみたんですが、つまずきました。部分積分もややこしくなって合っているかわかりません。

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  • postro
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回答No.2

a^2-t^2=u とおいて置換積分するのがいいと思います。 -2tdt=du より ∫2t√(a^2-t^2)dt =-∫√udu です

その他の回答 (3)

  • debut
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回答No.4

t=asinθとおくと、dt=acosθdθ √(a^2-t^2)=√{a^2(1-sin^2θ)}=acosθなので、 ∫2t√(a^2-t^2)dt=2a^2∫sinθcos^2θdθ で、 ∫sinθcos^2θdθは、部分積分で、 =-cosθcos^2θ+∫cosθ(-2sinθcosθ)dθ =-cos^3θ-2∫sinθcos^2θdθ となることから、移項して整理すれば∫sinθcos^2θdθ=(-1/3)cos^3θ とできますが、積分範囲にarcsin(y/a)とか出てきて大変。 No2 の方の方法がよいと思います。

回答No.3

t = asinθとすると()の中は (a^2-t^2) = (a^2-a^2sin^2θ)  = a^2(1-sin^2θ)  = a^2×cos^2θ(∵sin^2θ+cos^2θ=1) よって√の中はacosθ、被積分関数は 2t√(a^2-t^2)=2asinθacosθ  =a^2×sin(2θ) (∵加法定理) 後は変数変換によって積分区間がかわることに 注意して計算するだけです。

  • bad-boys
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回答No.1

t=asinθ・・・(1)よりdt=acosθdθ・・・(2) (1)と(2)を与式に代入すれば、あとはあなたが計算するだけです

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