θ＝３６０/７度とするとき、

質問

θ＝３６０/７度とするとき、
１）cos3θ=cos4θであることを示せ。
２）cosθ、cos2θ、cos3θが解となるような、係数がすべて整数であるｘの３次方程式を求めよ。
３）（１＋４cos＾２θ）（１＋４cos＾２　２θ）（１＋４cos＾２　３θ）
１）からよく分かりません。とき方が分かる人教えてください。宜しくお願いします。

回答No.2

alice_44

１）
cos の対称性を表す公式 cos x = cos(-x) = cos(2π - x) に、
x = 3θ を代入する。

２）
1, cosθ,　cos2θ, cos3θ, cos4θ,　cos5θ, cos6θ が解となる
７次方程式を因数分解してもよいが、
素朴に、No.1 のようにしたほうが簡単かもしれない。

３）
cos の倍角公式より、
1 + 4 cos^2 θ = 1 + 4・(1 + cos2θ)/2 = 3 + 2 cos2θ。
同様に、
1 + 4 cos^2 2θ = 3 + 2 cos4θ = 3 + 2 cos3θ。
1 + 4 cos^2 3θ = 3 + 2 cos6θ = 3 + 2 cosθ。
これを掛け合わせると、展開の計算が楽。
最終的には、三次方程式の解と係数の関係で処理する。

回答No.1

info22_

まず１)から
和積公式を適用して
cos3θ-cos4θ=2sin(7θ/2)sin(θ/2)=2sin180°sin(180°/7)=0
∴cos3θ=cos4θ

2)
解と係数の関係を使えばよい。
A=cosθ+cos2θ+cos3θ、
B=cosθcos2θ+cos2θcos3θ+cos3θcosθ
C=cosθcos2θcos3θ
を計算して下さい。
そうすれば求める3次方程式は
x^3-Ax^2+Bx-C=0
となります。

3)
式を展開して
2)で求めたA,B,Cの式で表してA,B,Cを代入すれば良いですね。