慣性モーメントの計算に関する問題

質問

こんにちは。
”慣性モーメントの問題で、
半径がaの一様な球の、一つの接線の周りの回転半径はいくらになるか”を求める問題なのですが、いまひとつ、どう求めるかが理解できません。
どなたか教えて下さい。お願いします。
ちなみに答えは√（7/5）aとなっていました。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

固定フォントで見て下さい．
図が乱れてなけりゃいいけれど．

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上の図で，長方形の板(一様，質量 M)の慣性モーメントを考えます．
＠軸は重心を通ります．この軸に関する慣性モーメントを I_G とします．
で，＠軸をｄだけ平行移動したのが※軸です．
※軸に関する慣性モーメント I は
(1)　　I = I_G + Md^2
であるというのが平行軸の定理です．
別に板に限らず，どんな場合でも成立します．
一様だという必要もありません．
＠軸が重心を通るのが大事です．

物体を細かく分割して，各部分の質量を m(i)，
＠軸からの距離を x(i) とします．
もちろん，＠軸は x=0 になっています．
慣性モーメントの定義により，
(2)　　I_G = Σ m(i) {x(i)}^2
(3)　　I = Σ m(i) {x(i)-d}^2
です．Σはすべての i に関する和．
(3)をバラすと
(4)　　I = Σ m(i) {x(i)}^2 - 2dΣ m(i) x(i) + d^2 Σ m(i)
になります．
右辺第１項は I_G そのもの．
重心の x 座標の定義が
(5)　　x_G = (1/M) Σ m(i) x(i)
であったことを思い出すと，(5)はゼロです．
重心は＠軸上(x=0)なのですから．
つまり，(4)の右辺第２項はゼロ．
第３項で，Σ m(i) は全質量 M に他なりません．
したがって，(1)が成り立ちます．

お礼

遅れて申し訳ありません。
詳細な解説ありがとうございました。

回答No.1

siegmund

慣性モーメントがわかれば，
回転半径の定義からすぐに回転半径がわかります．

問題の慣性モーメントは直接計算する手もありますが，
直径のまわりの球(一様で質量 M)の慣性モーメント
I_G = (2/5)Ma^2 を知っているなら
いわゆる平行軸の定理を使えば簡単です．
重心を通る回転軸を d だけ平行移動すれば，
慣性モーメントは
I = I_G + Md^2
になります．

補足

siegmundさん、回答ありがとうございます。
平行軸の定理ですが、
できれば詳しく教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願いします。