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Napierの数
protoの回答
昔のノートを引っ張り出してみました。 [副題] x>0のとき x^n ≧ n(x-1) [証明] (x^n-1)/(x-1) = x^(n-1) +x^(n-2) +... +x +1 0<x<1のとき (x^n-1)/(x-1) = x^(n-1) +x^(n-2) +... +x +1 < n かつ x-1 < 0 より x^n-1 > n(x-1) また、1≦xのとき (x^n-1)/(x-1) = x^(n-1) +x^(n-2) +... +x +1 ≧ n かつ x-1 > 0 より x^n-1 ≧ n(x-1) 以上まとめて、x>0のとき x^n-1 ≧ n(x-1) [証明終わり] [主題証明] x>0のとき x^n-1 ≧ n(x-1) より、x=(1-1/(n^2))を代入すると (1-1/(n^2))^n-1 ≧ n*(1-1/(n^2)-1) = -1/n (1-1/(n^2))^n ≧ 1-1/n これの左辺に着目すると 1-1/(n^2) = (n^2-1)/(n^2) = (n+1)(n-1)/(n*n) = ((n+1)/n)*((n-1)/n) = ((n+1)/n)/(n/(n-1)) = (1+1/n)/(1+1/(n-1)) より (1-1/(n^2))^n = ((1+1/n)^n)/((1+1/(n-1))^n) ≧ 1-1/n 分母を払って (1+1/n)^n ≧ (1-1/n)*(1+1/(n-1))^n = (1+1/(n-1))*(1+1/(n-1))^n = (1+1/(n-1))^(n-1) (1+1/n)^n ≧ (1+1/(n-1))^(n-1) よって A[n] ≧ A[n-1] [証明終わり] 今見るとすごく煩雑ですね。もう少しシンプルな証明があるはずです。 A[n]<3の方は、二項係数をC[n,k]=(n!)/(((n-k)!)*(k!))と書くと A[n] = (1+1/n)^n = 1 +Σ[k=1~n]{C[n,k]*(1/n)^n} = 1 +Σ[k=1~n]{(1/(k!))*(n/n)*((n-1)/n)*((n-2)/n)*...*((n-k+1)/n)} = 1 +Σ[k=1~n]{(1/(k!))*(1-1/n)*(1-2/n)*...*(1-(k-1)/n)} ≦ 1 +Σ[k=1~n]{(1/(k!))*1*1*...*1} = 1 +Σ[k=1~n]{1/(k!)} またk≧1のとき、k!≧2^(k-1)より A[n] ≦ 1 +Σ[k=1~n]{1/(k!)} ≦ 1 +Σ[k=1~n]{(1/2)^(k-1)} ≦ 1 +(1-(1/2)^n)/(1-1/2) = 1 +2*(1-(1/2)^k) < 3 よって A[n] < 3
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丁寧に答えてくださってありがとうございます!!