ネピア級数について

質問

ネピア級数について

ｅ＝ｌｉｍ（１＋１／ｎ）＾ｎ
　　<n→∞>

とありましたが、ｎ→∞の時、１＋１／ｎ→１と考えてしまったらｅ≒２．７１８２８となりませんよね。これって何処がおかしいのでしょうか？

回答No.1

pancho · ベストアンサー

質問者の論理が正しければ、逆にa=1+1/nと置換えて、
　a > 1
なのだから、ｎ→∞の時、a^n→∞ですよね？

基数の[1+1/n]と、その冪数である[n]は同時に変化しますので、片側だけの極限を先に考えてはいけないのです。

以上。

回答No.4

kony0

#2さんの「証明」は、ご本人いわく「後味悪い」とのことですが、確かに「何をeの定義としているか」が今一つ不明確に思えます。（途中でe^x=Σ(k=0,1,2,...)1/k!を持ち出しているところとか）

・・・と思ったら、非常によいページを見つけたので紹介します。もはやご質問者の質問内容からはずれてるかもしれませんが。^^;

参考URL：

http://www.daieidream.co.jp/html/science/e.pdf

回答No.3

noname#6587

「１＋１／ｎ→１と考えてしまったら、、、、これって何処がおかしいのでしょうか？」
－－－＞
１＋１／ｎ→１　　　おかしくないです。
（１＋１／ｎ）＾ｎ →１　おかしいです。

高利貸しから
年１０％の利子で１０年借りる
年１％の利子で１００年借りる
年０．１％の利子で１０００年借りる。
、、、単利でも２倍になるのに、複利でそれより安いはずが無いではないか、、、初めての、アｘｘ！　(^^);

回答No.2

KENZOU

panchoさんの云われているように(1+1/n)の中味と同時にその中味のｎべきも同時に変化しますのでappaloosaさんのやり方はマズイ。
そこで以下に与式の証明(?)をやってみましょう。
　an＝(1+1/n)^n　　(1)
という級数を考えます。これは結論からいうと収束しますが、(1)を2項定理をつかって展開すると
　an=1+nC1(1/n)+nC2(1/n)^2+・・・+nCn(1/n)^n
　　=1+1+(1-1/n)(1-2/n)/3!＋・・+(1-1/n)・・(1-(n-1)/n)/n!)　(2)
となります。最終の右辺の式はご自分で導出してみてください。ここでn→∞の極限をとってやると
　lim[n→∞]an=1+1+1/2!+1/3!+・・・+1/n! (3)
となりますね。ところでe^xは
　e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+・・・+x^n/n! (4)
と展開できますね。ここでx=1とおいてやると(4)の右辺は(3)と同じとなります。つまり
　e=lim[n→∞](1+1/n)^n　　(5)
となるわけです。なにか手抜き証明のようで(笑い)後味があまりよくないですが、、、まっ、ご参考まで。