ニュートン力学の４次元化について

質問

ニュートン力学の４次元化について

相対論を勉強しているのですが、考えてもピンとこない箇所があるので質問させていただきました。

ニュートン力学を４次元化した場合、固有時間ｄτがｄτ＝√(ｄｔ^2-dx^i dx_i)　（iは添え字）と表わされると本に書いてあるのですが、なぜこのように表わされるのかわかりません。
また光速ｃがなぜ出てこないのでしょうか？

どなたかお願いします。

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

ミンコフスキー時空に適用した場合

dτ = √(dt^2-dx^i dx_i) = √(dt^2 - Σ[i=1～3]dx^idx_i)
　　= √(dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2)
　　= dt√[1-(dx/dt)^2 - (dy/dt)^2 - (dz/dt)^2]
　　= dt√(1-β^2)

ただし，c=1　とする単位系を用いており

　β^2 = v^2/c^2 = [(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 + (dz/dt)^2]/c^2

最後の結果　dτ = dt√(1-β^2)　は時間の遅れを示す公式と同じになっていることがおわかりでしょうか？

お礼

回答が遅くなり申し訳ございません・・・
ありがとうございました！

回答No.1

noname#185706

・dτの式
間隔は座標系に依らず（不変であり）、時計とともに動く系（固有時間を考える系）では時計の空間座標は変化しない（すべての dx が 0 である）ので、
- dτ^2 = - dt^2 + dx^i dx_i

・c が現れないこと
c = 1 となる単位系が採用されているのでしょう。

お礼

回答が遅くなり申し訳ございません・・・
ありがとうございました！