クラインゴルドンの方程式

質問

相対論的量子力学の勉強をしてるのですが、全然わからなくて困ってます。
クラインゴルドンの方程式を導く時、負のエネルギーを考えないと因果律が敗れてしまうってのは、なんとかわかったんですが、それで負のエネルギーを考えた方程式を作るため、
E^2=P^2+m^2
で、
E→i(∂/∂t) p→(1/i)(∂/∂x)
って置き換えたらクラインゴルドンの方程式が出ますよね?
それで、この方程式は自由粒子であればスピンに関係なく何成分のときでも成り立つってあったんですが、なぜですか?
それとこうするとどうして因果律が敗れてないんですか?証明方法を教えてくれませんか?
それと、いま新物理学シリーズの相対論的量子力学（西島）って本で勉強してるんですが、もっといい本があったら、ぜひ紹介してください。もしくはURLでも。お願いします。

回答No.5

grothendieck · ベストアンサー

Minkovski空間の計量は4元ベクトルの内積が
　x0^2 - x1^2 - x2^2 - x3^2　…(1)
になる様にする場合と、
　x1^2 + x2^2 + x3^2 - x0^2　…(2)
と、x4 = ix0 とおいて
　x1^2 + x2^2 + x3^2 + x4^2　…(3)
とする場合の３種類があります。(3)の場合、反変成分と共変成分の区別がないので、添字は全て下つきに書かれます。

お礼

ありがとうございました。これで、すっきりしました。西島さんの本は全部下付きで書いてるから、意味わからなかったんです。
これを頭に入れて、もう一回読み直してみます。
ありがとうございました。

回答No.4

grothendieck

kayanaumiさん、こんにちは。私も西島さんの「相対論的量子力学」を読んだことがあるのですが、ご質問の箇所の他にも計算の省略されている所が相当あった様に思います。さて、クラインゴルドンの方程式の本義ローレンツ変換に対して不変な解を一般に不変デルタ関数正エネルギーだけの不変デルタ関数だと空間的に離れている領域(x^2<0)で不変デルタ関数は0にならないが、負エネルギー部分の不変デルタ関数も併せると空間的にはなれている領域で0になる不変デルタ関数を構成できることができます。それは例えば中西襄「場の量子論」などに書かれていますので、お読みになってはいかがでしょうか。

お礼

ありがとうございます。
計算の省略が多くてとても大変です。
添え字もすべて、下付きになっていて意味がわからなくなってきます。
ところで、この本で、μ＝４とありますが、μ＝０のことですか?

回答No.3

KENZOU

＞結局負のエネルギーを入れれば矛盾が解消される理由がわかりません。
既にeaeさんが
＞因果律とはは、より具体的には
「空間的な位置にある２点間の遷移振幅が0になる」
ことですが、負のエネルギー解を考えることでこのことが示せます。
と書かれていますので、以下は少し観点を変えて要点のみを書きます。ディラック方程式の平面波の解（波動関数）を求めると正にエネルギー解としての平面波解と負のエネルギー解の平面波解がでてきますが、一般解はこれら平面波解の一次結合で与えられます。この段階で負のエネルギー解は物理的に意味がない(※）といって切り捨てると、ディラックの方程式の解が正エネルギー解だけでは展開できないという数学的な問題にぶつかります。つまり正と負のエネルギーを示す解ではじめて完備系を作り、ディラック方程式の任意の解は正と負の解の１次結合で展開されなければならないからなのですね。（Diracは自著量子力学の中で”量子論では古典論と異なり不連続的転移が起きることができるので電子が正のエネルギー状態から負のエネルギー状態へ転移する可能性を無視することは許されない”というようなことを書いていますね）。
(※）こうなると負のエネルギー解はやはり物理的に意味のあるものであるはずだ、ということからディラックの空孔理論が生まれといわれています。

お礼

ありがとうございます。
なんとなくわかった気がします。

回答No.2

eae

私の方こそ質問が読めていませんでした。
ごめんなさい。

負の解を考えない＝＞因果律が破れる

だとしても，そこからすぐに

負の解を考える＝＞因果律が破れない

は言えないですからね。
負の解を考えない＜＝＞因果律が破れる
を理解しているものだと思いました。

因果律とはは、より具体的には
「空間的な位置にある２点間の遷移振幅が0になる」
ことですが、
負のエネルギー解を考えることでこのことが示せます。

Peskinをお持ちでしたら、
最初の方にその理由が書いてあると思います。

お礼

2度も回答ありがとうございます。
結局Peskinを読んだほうがいいって事ですね。
がんばって読んでみます。

回答No.1

eae

>負のエネルギーを考えないと因果律が敗れてしまうってのは、なんとかわかった

ならば、

E^2=p^2+m^2より、E=±sqrt{p^2+m^2}
すなわち負の解が得られる。よって因果律は破れない。

と簡単に理解できると思うのですが、どうでしょう。

>この方程式は自由粒子であればスピンに関係なく何成分のときでも成り立つってあったんですが、なぜですか?

自由粒子ならばエネルギーと運動量の関係は必ず
E^2=p^2+m^2
を満たさねばならぬわけで、
それを演算子にしたものをぶっかければ0にならなくてはいけません。

>それと、いま新物理学シリーズの相対論的量子力学（西島）って本で勉強してるんですが、もっといい本があったら、ぜひ紹介してください。

良い本だと思いますが、
この本は場の量子化を扱ってはいなかったように記憶しています。
相対論的量子力学は必然的に場の量子論にならざるを得ないので、
(その理由が良くわかるように、
場を量子化しないでどこまで行けるかをはっきりさせる
ことが上記の本の目的の1つでもあるみたいなことが
序文に書いてありましたよね、たしか。)
場の量子論の本を挙げておきます。

Peskin&Schroeder
「An Introduction to Quantum Field Theory」

これは分りやすく、よい本だと思います。

補足

すみません。質問間違えました。
「正のエネルギーしか考えずに解いていくと、因果関係の矛盾が生じてしまう、これは負のエネルギーを考えなかったせいである。」とあり、なんとなくそうなんだーって理解してしまってました。結局負のエネルギーを入れれば矛盾が解消される理由がわかりません。

＞Peskin&Schroeder
＞「An Introduction to Quantum Field Theory」
実は、これを読んでいて、難しいから今、西島さんの本を読んでいます。
多分英語力がないせいか、基礎力がないせいですね。もう一度トライしてみます。