整数問題（なのかな？) 【意外と長文です】

質問

こんにちは。
今回質問させていただくものは、『整数問題』らしき問題です。
以下の問題です。

（１）
nを整数とする。n^２を５で割った余りを求めよ。
（２）
mを整数とする。方程式　 x^2+4x-5m+2=0を満たす整数ｘは存在しないことを
証明せよ。

簡単に自分の（つぶれた）アイデアを参考程度に載せておきます。
（１）
たぶん剰余の定理の応用問題だと思われます。
よって、n=5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4 なんて置いてあげて解く
“気がします”がその後どのように余りを求めるか分かりません。
（そもそもこの考えも怪しいですし・・・悲）
（２）
きっと因数定理の考え方（概念？）が役に立つのかな？と思っています。
思っているだけで、こちらはどのように解けばいいのか意味不明。
（たった今）書いている途中で思いついたのは、
判別式を負にすると、ｍが不適な値が出るのかも！！と思って改めて解こうとしたら、一瞬で破壊されました。（笑）

方針等、ご指導ください。

回答No.4

debut · ベストアンサー

No2です。
回答に書いたように、(x+2)^2=5m+2と変形でき、ｍが整数だから
それは「あるものの２乗が、５で割ると２あまる」ということを
示しています。２あまりでは(1)のことに反してしまいますね。
だから　ｘ＋２　は整数ではないということになります。

お礼

回答遅れてすいません！！
ありがとうございます！！

回答No.3

noname#112109

(1)あなたの考えは的を射ています。n＝5k－2,5k－1,5k,5k＋1,5k＋2(kは整数)と場合分けして，
　　n＝5k－2のとき，n^2＝(5k－2)^2＝25k^2－20k＋4で余り4
　　n＝5k－1のとき，n^2＝(5k－1)^2＝25k^2－10k＋1で余り1
　　n＝5k　 のとき，n^2＝(5k)^2　 ＝25k^2　　　　 で余り0
　　n＝5k＋1のとき，n^2＝(5k＋1)^2＝25k^2＋10k＋1で余り1
　　n＝5k＋2のとき，n^2＝(5k＋2)^2＝25k^2＋20k＋4で余り4
　　以上から，n^2を5で割ったときの余りは，n＝5kのとき0，n＝5k±1のとき1，n＝5k±2のとき4

お礼

回答ありがとうございます。
確かに、±で場合わけしたほうが場合わけとしては楽ですね！！

整数問題はとても苦手なので、感覚を深く養いたいものです。

（２）の方針は？
n＝5k＋2のとき，n^2＝(5k＋2)^2＝25k^2＋20k＋4で余り4
これを使えばいいのですね？

補足

n=5k+3とn=5k-2で違う余りがでてしまいますが、どうすればいいでしょうか？

（5k+3)^2=25k^2+30k+9
(5k-2)^2=25k^2-20k+4

教えてください。

回答No.2

debut

(1)
そこから２乗してみては？

(2)
(x+2)^2=5m+2　と変形できますね。すると(1)が。

お礼

回答ありがとうございます！！

早速・・・・実行します！

回答No.1

koko_u_u

もう少し粘り強く取り組むといいよ。

お礼

回答ありがとうございます。

どちらも、方針は正しいのですか？