場合の数

質問

合計が105になる連続する2個以上の正の整数の組み合わせは何通りあるか？

まず、1+2+3+.....+14=105を考える。(1通り)
14個の数字のうち２個ずつ組み合わて7個の和にするのは14C2で91通り。
同様にして14C3,14C4,14C5,14C6,14C7をそれぞれ計算して、
364,1001,2002,3003,3432（通り）
となるから1+91+364+1001+2002+3003+3432=9894（通り）

と考えたのですがどうでしょうか。考え方が間違えていたり、計算ミス
していたら教えてください。宜しくお願いします！

回答No.2

noname#137826 · ベストアンサー

No. 1です。解答に不備がありました。下記は足りない部分の追加です。

n(2a + n - 1) = 2・3・5・7

を a について解くと

2a = 210 / n - n + 1

となります。問題の条件より a > 0 なので

210 / n - n + 1 > 0

です。これを解くと、

-14 < n < 15

です。したがって、可能な n の範囲は

2 <= n < 15

となります。このうち、210の素因数の組み合わせで得られるのは

n = 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14

なので、求める組み合わせの個数は 7 です。

お礼

なるほど、よくわかりました！
ありがとうございました！

回答No.4

staratras

具体的に考えてみましょう。
例えば連続する2数の組み合わせであれば、105=52+53の１通りしかありません。
105は奇数なので、2で割ると52.5となりますので、その前後の2数の組み合わせしかないことになります。
連続する3数の組み合わせならどうか、105は3の倍数（105=35×3）なので、その前後の2数と合わせて105=34+35+36の1通りです。
以下同様に連続する4数ならば、105=26.25×4なので、この場合はありません。
(24+25+26+27=102、25+26+27+28=106です。）

これらのことから105を連続するN個の正の整数の和で表せるのは、
Nが偶数ならば105が奇数なので、105÷Nの小数部分が0.5である場合、
Nが奇数ならば105がNで割りきれる場合(この商が連続するN個の整数の真ん中の数）であることが分かります。そしてそれぞれのNについて、「合計が105となる連続するN個の整数」は1通りに決まります。またご指摘のように、105=1+2+3…14なので、Nの最大値はN=14です。

105=3・5・7なので、
Nが奇数の場合は、N=3,5,7の3通り
Nが偶数の場合は、N=2,6,10,14の4通りで、合計7通りです。

お礼

まずはいろいろ実験するのですね。
しかもなかなか鮮やかな解法ですね！ありがとうございます！

回答No.3

tanupuu2002

場合分け
　連続する２個の整数　　ｎ＋（ｎ＋１）＝１０５　解くと　ｎ＝５２　∴５２，５３
　〃　　　３個　　　　（ｎ－１）＋ｎ＋（ｎ＋１）＝１０５　解くと　ｎ＝３５　∴３４，３５，３６
　〃　　　４個　　　　　ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２）＋（ｎ＋３）＝１０５　整数解なし
　〃　　　５個　　　　（ｎ－２）＋（ｎ－１＋）ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２）＝１０５　ｎ＝２１
　　　　　　　　　　　　∴　１９，２０，２１，２２，２３
　〃　　　６個　　　　ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２）＋（ｎ＋３）＋（ｎ＋５）＝１０５　ｎ＝１５
　　　　　　　　　　　　∴　１５、１６，１７，１８，１９，２０
　〃　　　７個（ｎ－３）＋（ｎ－２）＋（ｎ－１＋）ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２）＋（ｎ＋３）＝１０５　　　　　　　　　　ｎ＝１５　∴１１，１２，１３，１４，１５，１６，１７，１８，１９
　〃８個　　ｎ＋（ｎ＋１）＋・・・＋（ｎ＋７）＝８ｎ＋２８＝１０５となる整数解なし
　〃９個　　（ｎ－４）＋（ｎ－３）＋・・・＋ｎ＋（ｎ＋１）＋・・・（ｎ＋４）＝９ｎ＝１０５となる　　　　　　整数解なし
　〃１０個　ｎ＋（ｎ＋１）＋・・・＋（ｎ＋９）＝１０ｎ＋４５＝１０５　ｎ＝６
　　　　　　∴　６，７，８，９，１０，１１，１２，１３，１４，１５
　〃１１個　（ｎー５）＋・・・＋ｎ＋・・・（ｎ＋５）＝１１ｎ＝１０５となる整数解なし
　〃１２個　ｎ＋（ｎ＋１）＋・・・（ｎ＋１１）＝１２ｎ＋６６＝１０５となる整数解なし
　〃１３個　（ｎ－６）＋・・・＋（ｎ＋６）＝１３ｎ＝１０５となる整数解なし
　〃１４個　ｎ＋（ｎ＋１）＋・・・＋（ｎ＋１３）＝１４ｎ＋９１＝１０５　ｎ＝１
　　　　　∴　１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１１，１２，１３，１４

以上　７通りをすべてあげてみました。

お礼

そのような地道な計算力（？！）も必要ですね！
わかりやすいです！ありがとうございました！

回答No.1

noname#137826

> 14個の数字のうち２個ずつ組み合わて7個の和にするのは14C2で91通り。

なぜこの組み合わせを考えるのですか？例えば、1と2, 3と4,...と組み合わせると、結果は 3, 7,... となります。これは連続する整数ではないのでは？

問題は、「aから始まる連続するn個(n>=2)の整数の和が105」になるような(a,n)の組の個数を求める、ということでしょう。解答は以下の通りです。(もし、自分で解いてみるということであれば、続きを見ずにがんばってみてください。)

「」部分を式にすると添付図のようになります。これを変形すると

n(2a + n - 1) = 2・3・5・7

となります。右辺は計算途中で出てくる210を素因数分解したものです。したがって、可能な n は 2^4 = 16 通りです。n に対して a は一意に定まるので、求める(a,n)の組の個数は16通りということになります。

補足

連続する、という部分を見落としてました。。

n(2a + n - 1) = 2・3・5・7
という式になるところまでは理解できました。
ですがnは16通りというのが理解できません。（頭の問題です、すみません）

自分の考え方は二つの積を作ればいいので4C2=6（通り）
また、4C3=4(通り)、210*1（１通り）という組み合わせもありなので
nは11通りと考えます。どのように考えて2^4=16通りとしたのか教え
て頂けませんか？