モーメントの問題で・・・

質問

質量Ｍ、半径Ｒ、質量中心の周りの慣性モーメントＩの車輪を考える。この車輪が、床の上を滑らかに中心の速さがｖで転がっているとする。
(１)車輪の中心の周りの角速度をωとした時、ｖとωの関係を書きなさい。
(２)この車輪の全運動エネルギーＫを書きなさい。
(３)この車輪が一様な円輪だとしたときにＩを計算しＭとＲで表わしなさい。

(３)は計算過程を書いていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.4

pascal3 · ベストアンサー

化学の分野でも、こういう計算は必要になるので（分子が回転したり原子核が回転したりする）、しっかり勉強してほしい、と大学教員としては思っているわけですが…。

少しヒントを書いておくと、「床の上を転がる」ととらえるから分かりにくいのです。
車輪の中心にビデオカメラのフォーカスを合わせて追いかけている、と想像してみてください。 そうすると、車輪はいつも同じ固定軸のまわりで回っていて、床が速さvで動いていく、という設定になります。

上記のように問題を読み替えれば、(1)は簡単です。 ωの意味が分かっているか？という問題はありますが、それこそ化学系なら必須の知識です。

(2)(3)は、教科書または講義ノートの「剛体の回転運動（固定軸まわりの場合）」とかいうあたりに
K = …
I = …
という式があるはずですから、その式のとおりにやってみましょう。

ついでに言っておくと、ここに答えを書いてくれ、というのは不正行為に加担しろと言っているのと同じことですが、それ以前に、自分自身の首を絞める行為にもなり得ることは知っておいてください。
大学教員がこのページをチェックしていないとでも思っているのですか？

回答No.3

naniwacchi

#1（#2）です。
少し時間があいてしまいました。

(1)ですが、図形の問題です。
半径：Rの円が角度：ωだけ転がると、転がった部分の円弧の長さは Rωになります。
この距離だけ前進しているのですから、速さは Rωです。

(2)並進エネルギーは 1/2* M* v^2です。
MとI、vとωを対比させれば、1/2* I* ω^2が回転エネルギーです。
これらの和が全運動エネルギーです。

(3)は、積分の計算です。
慣性モーメント自体は、(質量)×(回転半径)^2の和になります。
計算については「慣性モーメント」で検索するといくつか見つかると思うので、検索してみてください。

回答No.2

naniwacchi

#1です。
もし物理や機械工学、建築工学を専門とされるようでしたら、きちんと基本事項をおさえるようにしてください。

(1) 角度ωだけ円（車輪）がまわると、円弧はどれだけ回りますか？
その長さだけ車輪は「進む」ことになります。
角度ωは単位時間あたりの回転角度ですから、上で求めている長さは単位時間あたりの長さ＝速さ：vに相当します。

(2)「並進エネルギー」とは、俗に「運動エネルギー」と呼ばれているものです。
「回転エネルギー」は回転している物体がもつエネルギーで、
回転運動と並進運動の変数には
質量：Ｍ ⇔ 慣性モーメント：Ｉ
速さ：ｖ ⇔ 角速度：ω
という対応関係（アナロジー）があります。この関係に照らし合わせると、回転エネルギーも導出されます。

(3) 質量の面密度は、単純に 密度：ρ= M/(π* R^2)となります。
車輪という円盤上の小さな面積を考えます。
円の中心から r～ r+dr、角度θ～θ+dθの微小な「かけら」を考えると
このかけらの面積は、r* dr* dθとなります。
これに面密度をかけると、かけらの質量がでます。

この「かけら」がもつモーメントは、(ρ* r* dr* dθ)* r^2となります。
これを 0≦ r≦ R, 0≦θ≦ 2πで積分することで、円盤のモーメントが得られます。

補足

自分は化学の専門なので物理にはとても弱いためやはりわかりません。
アドバイスしていただけるだけでもすごくうれしいのですがやはり理解ができないので申し訳ないのですが模範解答・解説を載せていただけないでしょうか。

回答No.1

naniwacchi

(1)中心がωで回転すると、車輪の縁はどれだけの速さになりますか？
その分だけ「前進」しますね。

(2)全運動エネルギーは、並進エネルギーと回転エネルギーの和です。

(3)まずは、質量の面密度を求めましょう。
そして、m*r^2を積分します。

補足

アドバイスはありがたいのですがほとんどわからないに等しい状態なので解説してもらえないでしょうか。　お願いします。