台車の運動の問題がわかりません。

質問

細いパイプAKBは、角度2αで曲がっていて、台車の上に動かないように固定され、その曲がり角は台車とそれぞれ等しい角度をなしている。
台車は地面に沿って動くことができ、パイプの片方は水で満たされ、栓でせき止めとらている。
ある時、栓を開く。水柱長の中心の位置が、最も低くなった時の台車の速さを求めよ。
台車は最初静止していて、空のパイプを含んだ台車の重量はM、水の重量はm。
AKとBKの長さはl、摩擦を無視する。

という問題が解けません。
栓を開ける前の水の位置エネルギーと、最も低くなった時の運動エネルギーのエネルギー保存則。
台車と水の運動量保存則を連立し、求めたのですが答えと合いませんでした。
考え方が間違っているのでしょうか・・？
尚、正答は、u=(m/M)・(glcosα/(2(1+m/M)(1+(1+m/M)cotα)))^1/2だそうです。

回答No.3

yokkun831 · ベストアンサー

何とか答えが合いましたので，再挑戦。

台車の求める速さuのとき，水の速度の水平成分の大きさをvx，鉛直成分の大きさをvyとします。

エネルギー保存
1/4・mglcosα = 1/2・(vx^2+vy^2) + 1/2・Mu^2　(1)

水平方向の運動量保存
0 = mvx - Mu　(2)

台車に対する水の相対速度が鉛直方向から角αの方向ですから，
vy = (vx+u)cotα　(3)

(2)より　vx = Mu/m
(3)より　vy = (1+M/m)ucotα

これらを(1)に代入して，uについて解くと正答を得ます。

ポイントは，水の速度方向はあくまで台車から見て鉛直方向からαだということです。

補足

解答ありがとうございます。
代入して解いてみましたが、cotαの部分がどうしても二乗になってしまいます。
式に間違いはないと思いますので、正答が間違っているのでしょうか？

回答No.6

yokkun831

>式に間違いはないと思いますので、正答が間違っているのでしょうか？

はい。明らかに２乗が入ると思われます。Algodooというソフトでシミュレーションしましたが、その結果は２乗の方を支持しているようです。おもしろい問題なので下記に題材として拝借しました。あしからずご了承ください。

http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/337.html

お礼

助かりました。
ありがとうございました。

回答No.5

buturikyou

重力運動ですから水の速度は下向きにも成分が有りますよ！

回答No.4

yokkun831

とほほ。

>1/4・mglcosα = 1/2・(vx^2+vy^2) + 1/2・Mu^2　(1)

第2項，mがぬけました。

回答No.2

yokkun831

私も解いてみましたが，いまのところ答えは合いません。＾＾；
求める台車の速さu，そのときの水の速さvとして

エネルギー保存
1/4・mglcosα = 1/2・mv^2 + 1/2・Mu^2

水平方向の運動量保存
0 = mvsinα - Mu

どこが違っているんでしょうかね？
回答にならなくてごめんなさい。
せめて一緒に悩んでみました。

回答No.1

buturikyou

まだ解いていませんが感想としては「運動量保存則は無関係なのではないか」という感じがします。