物理の問題に関する質問

質問

以下の問題を解いているなかで分からないところがあったので、質問したいと思いました。

<問題>
滑らか水平面上に、質量Mの台車を静止させてある。台車の表面は水平で滑らかである。台車の右端には質量mの小物体Aが置いてあり、その鉛直上方の点から長さLの軽い糸で質量1/8 * mの小球Bをつり下げる。 重力加速度をgとする。糸が水平になる位置でBを静かに放し、Aと衝突させたら、Bは跳ね返って糸が鉛直と60°の角度をなす位置まで戻った。衝突直後のAの速さv_0を求めよ。(問題の図を添付しておきます。)

<この問題の模範解答で載っていた解き方>
衝突の直前,直後のBの速さをu_1, u_2とする。力学的エネルギー保存則より
(m/8) * gL = (1/2) * (m/8) * u_1^2 --①　∴ u_1 = √(2gL)
(1/2) * (m/8) * u_2^2 = (m/8) * g(L - Lcos60°) --②　∴ u_2 = √(gL)
A, Bの運動量保存則より、左向きを正として
(m/8) * √(2gL) = m * v_0 + m/8 + (-√(gL)) --③　
∴ v_0 = ((√2 + 1)/8) *√gL

<疑問に思ったこと>
なぜ①,②のときは物体Aのエネルギーについて触れられていないのに、③では物体Aの運動量について触れられているのかが分かりません。ここのところを丁寧に教えていただけるとありがたいです。

回答No.2

maskoto · ベストアンサー

訂正
Bには重力の他に張力も働きますが
Bの運動は円運動で張力はその向心力だから
常にBの移動方向と張力の向きは垂直です
したがって張力はBに仕事をしないので
Bの力学的エネルギーは保存されます

お礼

なるほど。つまり運動量保存則や力学的エネルギー保存則がそれぞれ成立する場面を考えれば、自ずとどの物体に関する式になるのかが分かるということですね。

回答No.1

maskoto

未知数がU1、U2、Ｖ0の三つなので
それらを求めるには、式三つの連立方程式が必要
そこで、力学的エネルギーの式や運動量の式を立てることになる
知って置くべきことは、
力積は運動量変化に等しい
と言う事
Bは重力が働いての運動になるので
重力から力積を受け、その運動量の鉛直成分が変化する
すなわちB単独でみると
Bの運動量は保存されないということ
だから、Bのみの式を考えるときには
運動量保存の法則の式は立てられません
一方、衝突するまでのBには、保存力である重力しか働かないので、衝突前に関して
力学的エネルギー保存の法則の式が立ちます
これは、衝突後のBについても同様
そして、AとBが衝突すると
弾性衝突であれば(反発係数1であれば)
力学的エネルギーは保存され
非弾性衝突(反発係数1未満)ならば
力学的エネルギーは保存されません
この問題では、弾性衝突か否か不明なので
力学的エネルギー保存の法則の式が立つかどうかは不明なのです
しかし、弾性衝突であろうと非弾性衝突であろうと、ABの運動量の総和は、衝突前後で変化しません(これを運動量保存の法則と言う)
したがって、ABの衝突の前後で
運動量保存の式が立ちます
このようにして、必要な式三つが揃うわけです

お礼

ご回答ありがとうございました。