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一般の結合法則について
代数系の公理とその補則？として２項演算をｎ項演算に拡張するため まず ３項演算への拡張は公理で謳い A1A2A3=(A1A2)A3=A1(A2A3) n項演算への拡張として新たに A1A2A3...An=(A1A2....An-1)An : (1) と定義したうえで (1)=(A1A2......Ak-1)(Ak....An) (任意のkに対して)：(2) とやっていますよね（大概の入門書では） でも(2)は実用の結合法則と異なっていますよね？ 少なくとも私はn項の式があったらどれかの２つから始めてnを減らしていきます：(3)。 最初に(2)(大きく２つに分けて)で計算することはないです。 で，お願いです「(2)⇔(3)」を証明していただくか 証明が記された本をご教示ください。
- dogbin
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ちょっとググてみたらこんなのがあったよ。 http://www.econ.hit-u.ac.jp/~yamada/algebra_pdf/associativity.pdf
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- mis_take
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ｎ項の演算であることがはっきりするように f_n(a_1,...,a_{n-1},a_n)=f_2(f_{n-1}(a_1,...,a_{n-1}),a_n) と書くとわかりやすくなります。 (2) f_n(x_1,...,x_n)=f_2(f_k(a_1,...,a_k),f_{n-k}(a_{k+1},...,a_n)) (3) f_n(x_1,...,x_n)=f_{n-1}(x_1,...,x_{k-1},f_2(x_k,x_{k+1}),x_{k+2},...,x_n) 最終的に，すべて f_2 だけで表したいということですが (2) top-down でやるか (3) bottom-up でやるか の違いではないでしょうか。 たとえば，f_2(x,y)=max{x,y} で考えると top-down は再帰的なので，わかりにくいと感じる人がいるかもしれません。
- Tacosan
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「どれかの 2つ」だとかえって面倒なんだよね. いっそのこと「最初の 2つ」としてもらった方が簡単. これだと A1 A2 ... An = (..(A1 A2) ... ) An と計算していて, これは (1) と一致する.
- alice_38
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(2)⇒(3)の証明: (2)を使って、 A[1] A[2] … A[k] = (A[1]A[2] … A[k-2])(A[k-1] A[k]) この式に、A[k+1] から A[n] を順に 右から掛けてゆけば、(3)の式を得る。 (3)⇒(2)は、数学的帰納法を使えば証明できるが、 面倒で、書いてみる気にならない。 …で、定理としては(2)のほうが便利かと。
- Tacosan
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(3) でいわれている「どれかの２つから始めてnを減らしていきます」とはどういうことでしょうか? それは (1) に対して「3項演算への拡張」を繰り返し適用すれば得られませんか?
お礼
ありがとうございます 私は例えば 11+3+7+1+9+9 は演算は非可換とすると 11+3+7+1+9+9 =11+10+1+9+9 =11+10+10+9 =31+9 =40 とやりますが 証明されている式は 最初に大きく２つに分けて例えば 11+3+7+1+9+9 =(11+3+7+1)+(9+9) =...=40 でその最初の分け方に依らず結果が同一であることを 証明しています
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お礼
アリガト 後でじっくり読むよ！