再びの質問で申し訳ありません

質問

再びの質問で申し訳ありません。
どうしてもわからなかったので質問させていただきます。

放物線上を転がる円の軌跡について

ここでの放物線は二次関数y=ax^2…【１】とし、円の半径はaとします。円は最初、原点で【１】と接しています（接点をAとする）。そこから、滑らずに放物線の上を転がります。動点Pは最初、円と放物線の接点にあるとします。このときの、動点Pの軌跡を媒介変数表示で表したいです。どなたかわかる人はいらっしゃいますか。細かな解法も教えていただけるとありがたいです。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

ANo.2のコメントについて。

[3]のところは、以下のようです。
　Lと点Qで直交する直線をMとすると、(u,v)はM上にある。Lの方程式を
(y-a(q^2))=k(x-q)
とする。ただし、kはLの傾きである。するとMの方程式は
(y-a(q^2))=-(1/k)(x-q)
である。(u,v)はM上にあるから、
(v-a(q^2))=-(1/k)(u-q) …(1)
を満たす。また、(u,v)とQとの距離の2乗は(a^2)なので、
(u-q)^2 + (v-a(q^2))^2 = a^2 …(2)
である。(1)と(2)の連立方程式を解けば、u,vが決まります。
　また、(u,v)から見てQに向かう方向がφなのだから、
tanφ = -1/k
である。

　ところで、以上の部分がご自分でできない方には、この問題は難しすぎると思う。もう少し基礎的な練習問題をやってから取りかかるべきかと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

じっくり考えたら理解ができました。ありがとうございます。

回答No.4

Mr_Holland

＃１です。

＞私の知識の問題なのですが、4)のarcsinhというものを見たことがありません。arcsinhを使わないで表せるのであればそれが知りたいです。

　arcsinh は逆送曲線関数の一つです。
http://gandalf.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2004.calculus-I/html.dir/node24.html

　簡単な表記になるため、この関数を使用しましたが、対数を使った表記も可能です。

４）　ａθ＝t/2 √(1+4a^2 t^2) + 1/(4a) log{2at+√(1+4a^2 t^2)}

＞また、5)の計算過程が知りたいです。どのような考え方でa^2/{1+1/(4a^2 t^2)}と1/[2at{1+1/(4a^2 t^2)}]が導き出されたのか、教えていただきたく思います。

　いろいろな方法があると思いますが、私は次のように行いました。

５ａ）　点Ａにおける放物線の法線（直線ＡＱ）を求める。
５ａ－１）　接線の傾きは 2at なので、法線の傾きは　-1/(2at)　となる。
５ａ－２）　法線は点Ａ（t, at^2)を通ので、次のように表される。
　　　　　ｙ－at^2＝-1/(2at) (ｘ－t)

５ｂ）　点Ａから点Ｑまでの距離がａなので、これに点と直線の距離の公式を適用する。
５ｂ－１）　点Ａの接線の方程式は次のように表される。
　　　　ｙ－at^2＝2at（ｘ－t)
　　　∴2atｘ-ｙ-at^2＝０
５ｂ－２）　点と直線の距離の公式を用いる。
　　　　ａ＝|2atx-y-at^2|/√(4a^2 t^2+1)

５ｃ）　５ａ－２）項の式と　５ｂ－２）項の式を連立して、ｘ、ｙを求める。
　　　求めたものが点Ｑの座標である。

お礼

回答ありがとうございます。

私が初めに計算したとき、対数が出たので間違えたかと思ったのですが、それも可能ということで安心しました。

内容の理解はできました。実際に計算してみます。ありがとうございました。

回答No.2

stomachman

ご質問では、媒介変数(パラメタ)として何を使いたいのかがはっきりしていない。なので、ま、とりあえずPの位置を計算することだけ考えてみよう。
[1] 放物線と点Q=(q, a(q^2))で接する円Cを、パラメタθを使って
(x,y)=a(cosθ, sinθ)+(u,v)
と表示しよう。(u,v)は円Cの中心である。
[2] 次に、点Qで放物線と円Cの両方に接している接線L（つまり共通接線）を考える。Lは放物線に点Qで接する直線に他ならないので、Lの方程式は簡単に分かる。
[3] また、Lは点Qで円Cに接しているのだから、円Cの中心(u,v)とQを結ぶ線分はLと直交している。そして、点Qと(u,v)との距離はaである。これらの条件からu,vが計算でき、さらに、接点Qを表すパラメタの値、すなわち
Q=a(cosφ, sinφ)+(u,v)
となるφも、同じ条件から直ちにわかる。
[4] 次に、原点から点Qまでの、放物線に沿った道のりsを計算する。
[5] さて、問題の点Pは円C上にあるのだから、
P=a(cosξ, sinξ)+(u,v)
と表せて、しかも題意から、PからQまでの円周に沿った道のりがsに等しい。つまり、
ξ=φ-s/a
である。これでPが決まった。

補足

回答ありがとうございます。

[3]でのu,vを求めるところの計算がわかりません。条件からどのような式が立てられるのでしょうか。また、パラメータφの求め方もわかりません。詳細な式、教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.1

Mr_Holland

スマートな解法ではありませんが、次の方針で求められてはいかがでしょうか。

１）　移動する接点の座標をＡ（t, at^2）とおく。
２）　移動する円の中心の座標をＱ（Qx, Qy）とおく。
３）　動点Ｐの座標をＰ（Px, Py）とし、∠ＡＱＰ＝θ　とおく。
４）　放物線上に沿った原点Ｏから接点Ａまでの距離を求め（ｔで表示）、　（その距離）＝ａθ　の関係を得る。
５）　点Ｑは点Ａの法線上で距離ａの点であることから、点Ｑの座標を求める（ｔで表示する）。
６）　点Ｐは、点Ａを+x方向に-Qx、+y方向に-Qyだけ平行移動し、原点周りにθだけ回転させた後、+x方向に+Qx、+y方向に+Qyだけ平行移動した点であることから、点Ｐの座標を求める（ｔとθで表示）。
７）　最後に　６）項で求めた点Ｐの座標のθをｔで表示し直す。

　ちなみに、ざくっと計算してみましたが、とても複雑な式になるようです。
　計算ミスがあるかもしれませんが、計算結果を記します。よければ参考にしてください。

４）　ａθ＝t/2 √(1+4a^2 t^2) + 1/(4a) arcsinh(2at)

５）　Qx＝t + a^2/{1+1/(4a^2 t^2)}
　　　Qy＝at^2 - 1/[2at{1+1/(4a^2 t^2)}]

６）　Px＝t + {a^2 (1-cosθ)-sinθ/(2at)} / {1+1/(4a^2 t^2)}
　　　Py＝at^2 - {a^2 sinθ+(1-cosθ)/(2at)} / {1+1/(4a^2 t^2)}

７）　単純に　６）項のθに４）項で得られたθを代入してください。
　　　煩雑になりますので、記載は割愛します。

補足

回答ありがとうございます。

私の知識の問題なのですが、4)のarcsinhというものを見たことがありません。arcsinhを使わないで表せるのであればそれが知りたいです。

また、5)の計算過程が知りたいです。どのような考え方でa^2/{1+1/(4a^2 t^2)}と1/[2at{1+1/(4a^2 t^2)}]が導き出されたのか、教えていただきたく思います。

よろしくお願いします。