インボリュート曲線！！？

質問

中心が(0,a)、半径aの円に、原点に結ばれている長さaπの紐を巻きつける。このとき、紐の先端が描く曲線の長さを求めよ。ただし、第一象限のみを考える。

という問題です。

インボリュート曲線の式を、媒介変数で表された曲線の長さを求める積分の式で、
範囲はθ＝0°～180°で考えたら良いのではないかと考えたのですが、
それで合っていますか？？

回答No.2

inara · ベストアンサー

>範囲はθ＝0°～180°で考えたら良いのではないかと考えたのですが、それで合っていますか？？
合ってます。

円の中心を C、円周から紐が離れる点を P、紐の先端の位置を Q とします。
それらの点の位置関係は下図のようになると思います（図がうまく描けないので円周の曲線は省略します）。

　　　　　　　↑　　　　　　　　　　　　　　　Q ( x, y )
　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　／
　C ( 0, a ) ｜　　　　　　　　　　　　／
　　　　　　　｜＼　　　　　　　 　／
　　　　　　　｜θ　＼　　　 　／
　　　　　　　｜　　　　＼ ∠＿θ
　　　　　　　｜　　　　　P ( a*sinθ, a - a*cosθ )　
　　　　　　　┼──────────────→ x
　　　　　　O　

【紐の端の描く曲線を媒介変数で表わす】
ここで角度 θ は、線分 CP と y 軸とのなす角、つまり∠OCP とします。線分 CP の長さは円の半径 a に等しいので、点Pの x 座標は a*sinθ、y座標は a - a*cosθ となります。

次に、紐の先端 Q の位置 (x, y) について考えます。まず、紐が円から離れている部分（線分PQ）は、x 軸と θ の角度になっていることに注目します（∠CPQはいつも直角とういうことに気づけば分かると思います） 。そのことを念頭に置けば、線分PQの長さを L としたとき、 Q の位置 (x, y) は、上で計算したP の位置を参考にして
　　　x = a*sinθ + L*cosθ　　　　--- (1)
　　　y = a - a*cosθ + L*sinθ　　--- (2)
となります。ところで、紐全体の長さはいつも a*π ですが、この長さというのは、円弧OPと直線PQの長さの和です。つまり
　　　a*π = a*θ + L
ですから L = a*( π - θ ) となります。これを式(1), (2) に代入すれば
　　　x = a*{ sinθ + ( π - θ )*cosθ }　　　--- (3)
　　　y = a*{ 1 - cosθ + ( π - θ )*sinθ }　--- (4)
となって、点Q の座標を 媒介変数 θ を使って表わすことができました。ここで、θ の範囲ですが、θ = 0 が始点だということは明らかです。一方、紐の長さが a*π ということは、半円周分しかないので、終点は（0, 2*a ) つまり、円の頂上、θ = π = 180°になります。

【紐の先端が描く曲線の長さ】
媒介変数　θ 　を使った曲線 x = f(θ)、y = g(θ) の長さ S は次式で表わされます。
　　　S = ∫[ θ = θmin ～ θmax ] √{ f ' (θ)^2 + g ' (θ)^2 } dθ
したがって、式(3), (4) より
　　　f'(θ) = a*{ cosθ - cosθ - ( π - θ )*sinθ } = - a*( π - θ )*sinθ
　　　g'(θ) = a*{ sinθ - sinθ + ( π - θ )*cosθ } = a*( π - θ )*cosθ
ですから
　　　f'(θ)^2 + g'(θ)^2 = a^2*( π - θ )^2*{ ( sinθ )^2 + ( cosθ )^2 } = a^2*( π - θ )^2
0 ≦ θ ≦ π なので、π - θ ≧ 0 であることを考慮すれば
　　　√{ f'(θ)^2 + g'(θ)^2 } = a*( π - θ )
したがって、θmin = 0、θmax = π なので・・・

回答No.5

info22

#1,#4です。
媒介変数θの説明部分が言葉足らずでしたので補足させて頂きます。

＞媒介変数θを紐がほどけて行くときの中心角にとっていますので

媒介変数θを紐がほどけて行くときの
「出発点と紐が円周と接する点の作る」中心角にとっていますので

と「」部分を追加して下さい。

お礼

自分の説明不足でご迷惑を大変おかけしまして、申し訳ございません。
θについては#2,3の方が説明してくれた通りです。
実際に自分で解いてみたら、答えが一致しましたので、間違いないと
思います。
答えまで出していただきありがとうござました。

回答No.4

info22

#1です。
＞インボリュート曲線の式を、媒介変数で表された曲線の長さを
＞求める積分の式で、範囲はθ＝0°～180°で考えたら良いのでは
＞ないかと考えたのですが、
媒介変数θが何を表しているかで積分範囲が変わります。
A#1の補足で書かれたインボリュート曲線の式
＞x=a(cosθ+θsinθ)
＞y=a(sinθ-θcosθ)
の第一象限部分では
θ＝0°～180°とはなりません。

今の場合の紐の先端の軌跡を表す
インボリュート曲線の媒介変数による式は
x=a(sinθ-θcosθ)
y=a(1+cosθ+θsinθ)
になります。
媒介変数θを紐がほどけて行くときの中心角にとっていますので
この場合は0からπまで変化させると紐の先端軌跡の第一象限部分が
描かれます。
曲線の長さL
は媒介変数表現で次式で計算できます。
L=[θ:0→π]∫√{(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2}dθ
=[θ:0→π]∫aθdθ
=[θ:0→π] [a(θ^2)/2]
=a(π^2)/2

回答No.3

inara

ANo.2 です。
Webによく出ているインボリュート曲線の式
x=a(cosθ+θsinθ)
y=a(sinθ-θcosθ)
は、中心が原点を通る円のものです。
しかし、円の中心がどこにあっても、紐の先端が描く曲線の長さは同じです（曲線の方程式は当然違いますが）。

例えば、円の中心を (x0, y0 )とすれば、ANo.2 の点 P の x 座標は x0 + a*sinθ、y座標は y0 - a*cosθ となります。したがって点 Q の座標 (x, y ) は
　　　x = f(θ) = x0 + a*sinθ + a*( π - θ )*cosθ
　　　y = g(θ) = y0 - a*cosθ + a*( π - θ )*sinθ
となりますが
　　　f'(θ) = - a*( π - θ )*sinθ
　　　g'(θ) = a*( π - θ )*cosθ
ですので、円の中心座標（ x0, y0 ) に無関係です。したがって、どんなインボリュート曲線で計算しても結果（先端が描く曲線の長さ）は同じです。

お礼

詳しい説明ありがとうございましたm(_ _)m
おかげでかなり理解できました。
インボリュート曲線を、ただなんとなくの公式としてしか
理解していなかったのですが、図を用いて詳しく説明して
いただいて、何故xとyがこのような式で表されるのか
理解することができました。
本当にありがとうございました！！

回答No.1

info22

＞インボリュート曲線の式を、媒介変数で表された曲線の長さを求める積分の式
この式を書いて頂くか、書いてあるサイトを示して質問してください。
そうして頂かないと判断しようがありません。単に媒介変数といっても色々ありますので、式と変数の説明がないと回答できません。

補足

インボリュート曲線の式
x=a(cosθ+θsinθ)
y=a(sinθ-θcosθ)
媒介変数で表された曲線の長さ
L=∫(α→β)√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dt
参考にしたのは、高校数学公式活用辞典という1994年発行の本です。
サイトを探してみたのですが、良いのがみつかりませんでした。
すみません。