• 締切済み
  • すぐに回答を!

媒介変数の問題です

半径aの円が、座標の原点oを中心とする半径3aの静止円に内接して、すべることなく回転している。 この回転している円内に、その中心Aからb(0<2b<a)の距離に固定された点pの運動を考える いま、OAがx軸の正方向となす角をθ、点pの最初の位置、すなわちθ=0のときの点pにの座標が(2a+b,0)であったとする。同円が角θとなる位置まで回転したとき、この点pの座標(x,y)はx=2acosθ+bcos2θ y=2asinθ-bsinθと表される。 (1)x,yの媒介変数表示を導け (2)0≦θ≦πのとき、xはθの減少関数であることを示せ (3)0≦θ≦πの範囲で点pが描く曲線とx軸とで囲まれた図形の面積を求めよ

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数1
  • 閲覧数307
  • ありがとう数1

みんなの回答

  • 回答No.1
  • info222_
  • ベストアンサー率61% (1053/1706)

>点Pの座標(x,y)はx=2acosθ+bcos2θ y=2asinθ-bsinθと表される。 これは間違いなので (1)でこのP点の座標は導出できません。 (1) 正しいP点(x,y)の媒介変数表示を導くと x=2acosθ+bcos(2θ), y=2asinθ-bsin(2θ) となります。 外接円(大円)の円周上を内接円(小円)が滑ることなく転がって行くことがポイントです。これを言い直せば、小円の中心Aがの偏角θのとき小円の回転角が半径の逆比3倍で逆回転「-3θ」することです。小円は、差し引き「θ-3θ=-2θ」(つまり大円の回転とは逆の2θで回転)で回転します。 (2) x=2acosθ+bcos(2θ), このxが0≦θ≦πで、θの減少関数であることを示せばよい。 dx/dθ=-2asinθ-2bsin(2θ)=-2a(sinθ+(2b/a)sinθcosθ) =-2a(1+(2b/a)cosθ)sinθ 0≦θ≦πで  0≦sinθ、  0≦2b≦aより 1+(2b/a)cosθ≧1-(2b/a)≧0  ∴dx/dθ≦0 よって、xは0≦θ≦πで、θの減少関数である。 (3) 0≦θ≦πの範囲で点Pが描く曲線とx軸とで囲まれた図形は添付図の黄色の領域のようになります。 0≦θ≦πで y=2asinθ-bsin(2θ)≧0 xがθの積分区間で減少関数なので、θの積分方向は[π,0](この時xは増加関数)となり 面積S=∫[π,0] y(θ)(dx(θ)/dθ)dθ  =∫[π,0] (2asinθ-bsin(2θ)) (-2asinθ-2bsin(2θ))dθ  =π(2a^2 + b^2) …(答)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 媒介変数表示への変換のしかた。

    媒介変数表示への変換のしかたを教えていただきたいです。 具体的な問題で、 √x+√y=√a のxとyを媒介変数表示したいです。解答を見ると、直接 x=acosθ^4 y=asinθ^4 としているのですが、その仕方が分りません。 よろしくお願いします。

  • 媒介変数の問題

    (1)点(-a,0)を除く円x^2+y^2=a^2は媒介変数tを用いて、 x=a(1-t^2)/(1+t^2) y=2at/(1+t^2) と表せることを示せ。 この問題を教えてください。逆はできるんですが、この証明は分かりません。

  • 媒介変数の問題です。

    xyz空間における点Pの座標が実数tの関数として x(t)=acos(t) y(t)=sin(t) z(t)=-asin(t) aは正の実数であり、範囲は0≦t≦2πで点Pの描く曲線をCとする。 (1) 曲線Cが平面上の曲線であることを示し、その平面の方程式と単位法線ベクトルを求めよ。 (2)曲線Cをxz平面に投影した曲線で囲まれる領域Dの面積を求めよ。 です。よろしくお願いします。

  • 媒介変数表示

    媒介変数表示tで表された曲線x=3(t+1/t)+1 y=t-1/tは双曲線である。 ①この双曲線の中心の座標、頂点の座標、及び漸近線の方程式を求めよ。 ②この曲線の概形をかけ。 できるだけ分かりやすい説明をしていただけたら幸いです。

  • 媒介変数方程式と交点の座標

    Aは点(3.5)を通り方向ベクトルAが(2.3)の直線。Bは点(4.-2)を通り方向ベクトルBが(-3.4)の直線である。 (1)直線A,Bの媒介変数をs,tとして、それらの媒介変数方程式を求めてください。 (2)AとBの交点の座標を求めよ。 (恐らく直線AとBのこと?) 回答よろしくお願いいたします。

  • 楕円の媒介変数表示

     こんにちは。  x^2/9+y^2/16=1のとき 媒介変数表示は、x=3cosθ, y=4sinθとなることはいいのですが、  かりに、x=3sinθ, y=4cosθとおいても、標準形は満たしています。   点が右回りになり、負の回転となることは、わかりました。   問題で、媒介変数表示にせよ。 とある場合、 正解でしょうか? ×ですか?  また、このようにxをsinであらわすことはしないほうがいいのでしょうか?

  • 内接円・外接円

    内接円・外接円  座標平面上に、点C(4,0)を中心とする半径2の円Oと点A(-2,0)がある。  点Aを通る円Oの接線の中で、正の傾きを持つ接線をl、負の傾きを持つ接線をmとする。  接線lと円Oの接点をPとする。  このとき、次の問いに答えなさい。 (1)線分APの長さを求めなさい。 (2)△ACPの外接円の半径を求めなさい。 (3)△ACPの内接円の半径を求めなさい。 (4)接線lの傾きを求めなさい。 (5)接線lと接線mのなす角をθ(0<θ<(1/2)π)とする。tanθの値を求めなさい。  

  • 座標平面上の半径r(1>r>0)の円板D

    が原点を中心とする半径1の円に内接しながら滑らずに転がるとき、D上の定点Pの動きを調べる ただし、Dの中心は原点の周りを反時計回りに進むものとする 始めにDの中心と点Pはそれぞれ(1-r,0)、(1-r+a,0)(r≧a>0)の位置にあるものとする Dが長さθだけ転がった位置に来たときの点Pの座標(x,y)をθを用いて表せ 解き方を教えてください!

  • ベクトル

    座標空間おいて点P(a,b,2)と点Q(c,d,1)を結ぶ直線上の点R(x,y,z)は、tを媒介変数としてtの一次式~ という添付の画像の問題です。 一番最後の空欄がわかりません。教えてください。 補足(途中までの空欄の答え) X=a+(c-a)t,y=b+(d-b)t,z=2-t t=2 (2c-a,2d-b,0) (-a,-b,0)を中心とする半径2の円 面積 4+8π

  • 軌跡の問題に関して質問です

    座標平面上の半径r(0<r<1)の円盤Dが、原点を中心とする半径1の円に内接しながら滑らずに転がる。そのときのD上の定点Pの動きを調べる。ただし、Dの中心は原点の周りを反時計回りに進むものとする。初めのDの中心とPは、それぞれ(1-r,0)(1-r+a,0)の位置にあるものとする。 (1)Dが長さαだけ転がった位置にきたとき、Pの座標(x,y)をαを用いて表せ。 (2)Dが転がり続けるとき、Pがいつか最初の位置に戻るためのrの条件を求めよ。 (3)r=1/2のとき、点Pの軌跡を求め図示せよ。 (2)、(3)について方針、解答までに何を示せばこの問題を解くことが出来るのか詳しく教えていただけないでしょうか? よろしくお願いします。