数学への大学の問題の疑問

質問

この数学的疑問の説明をお願いします

問１面積が１である△ＡＢＣの辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ上に点Ｄ、Ｅ、ＦをＡＤ:ＤＢ＝ＢＥ:EC＝CF：FA＝t：(1-t)(ただし、0<t<1)となるようにとる。
(1)△ＡＤＦの面積をtを用いて表せ。

解答には下の図が書かれていました。
そこで疑問を抱きました。

１(1-t),1なので引いたら全部、比が１になります。よって１:1:1よりこの図形は正三角形ではないのですか？？
２sinA:sinB:sinC=5:8:7のとき、cosCを求めよ。この問題を解説では、比なので5k,8k,7kとおいて余弦定理を使って求めていました。しかし、この場合、この比で成り立つのだから５cm,8cm,7cmでも角度は変わらないはずだから比をそのまま長さと考えて解いても問題ありませんでした。どうして解説はわざわざｋなんて置いて面倒なとき方をしているのか疑問でした。
しかし、この問題（問１）のように比を長さとしてとらえとくと全部１になってしまいますよね。
だから、解説では比を長さととらえるのはおかしいからｋを使って表していたんでしょうか？？
３

数学に詳しい方教えて下さい

回答No.1

banakona · ベストアンサー

１だけ。ｔ：（１－ｔ）では？　たとえ（１－ｔ）：１だとしても「引いたら」とか「１：１：１」がどこから出てきたのか分かりません。

ｔ：（１－ｔ）で、0<t<1の場合、ｔ：（１－ｔ）に辺を内分する点を意味します。
仮にｔ＝１／３とすると、１／３：（１－１／３）＝１：２なので１：２に各辺を内分する点ということです。
下図は一例ですが、どう見ても正三角形ではありません。

補足

>たとえ（１－ｔ）：１だとしても「引いたら」とか「１：１：１」がどこから出てきたのか分かりません。

なぜ、引いて１：１：１だと考えてしまうのはまずいんでしょうか？？

回答No.2

spring135

2
題意より
sinA/5=sinB/8=sinC/7
正弦定理より角A,B,Cの対辺を各a,b,cとすると
sinA/a=sinB/b=sinC/c
よって
a/5=b/8=c/7 (1)

(1)を示した後でcosCを求めればよい。(1)を示さなければ0点。
(1)の値をｔと置いて解くのが対称性が保たれて最も明快。

＞この比で成り立つのだから５cm,8cm,7cmでも角度は変わらないはずだから比をそのまま長さと考えて解いても問題ありません

これは数学でない。従ってこのような説明で解に達しても0点。