絶対値の処理

質問

絶対値の処理について質問です。
|f(x)|＝|g(x)|
の解の個数を求めよ。
という問題があったとします。
ただしg(x)には媒介変数が入っている関数とします。
この場合一般的に、どのような解法があるでしょうか？
関数によりけりだと思うので、f(x)、g(x)いずれもxの整式の場合のみで結構です。

回答No.2

graycat000

|f(x)|＝|g(x)|

ならば

f^2(x) = g^2(x) なので，この等式を x について解いてみてはどうでしょうか．
f^2(x)は二乗の意味です．

回答No.1

info22

>ただしg(x)には媒介変数が入っている関数とします。
これだけの表現では意味が明確ではないので、但し書きをつけた意味がありません。

|f(x)|＝|g(x)|…（●）
は両辺を二乗した式と等価です。
(f(x))^2＝(g(x))^2
この式の右辺を左辺に移項して因数分解すると
{f(x)-g(x)}{f(x)+g(x)}=0
これを解くと
f(x)=±g(x)…(◆）
となります。
(●)と（◆）は等価なので(●）の解の個数は
(◆)の解の個数に一致します。
つまり、
f(x)=g(x)の解とf(x)=-g(x)の解の個数を合わせた個数になります。
（ただし重複する解の個数分は除くこと）

例１）
f(x)=sin(x),g(x)=cos(x)の場合
f(x)=g(x)の解：x=nπ+(π/4)　(n：整数)
f(x)=-g(x)の解：x=nπ-(π/4)　(n：整数)
これをあわせた x=nπ±(π/4) (n:整数)
が|f(x)|=|g(x)|の解となります。

例２）
f(x)=x(x-1)^2,g(x)=x(x+1)の場合
f(x)=g(x)の解：(x^2)(x-3)=0 ∴x=0(重解),3
f(x)=-g(x)の解：x(x^2-x+2)=0 ∴x=0 (∵(x^2-x+2)>0)
|f(x)|=|g(x)|の解の個数は2個

お礼

回答ありがとうございます。
僕も最初二乗することは同値なので、二乗するのかなとは思いましたが、次数が上がってしまうのでどうなのかと思いましたが、よくよく考えれば因数分解できましたね。
g(x)と－g(x)の重複解というのは、忘れやすいので注意ですね。