場合の数の問題

質問

赤球3個、白球3個、黒玉3個の計9個のたまがある。ただし同じ色の3個に区別はないものとする。
(1)ここから3個取り出す時選び方は？
(2)ここから7個取り出す時選び方は？

9Ｃ3とか9Ｃ7ではなぜだめなんでしょう。教えてもらえませんか？

回答No.2

potluckker · ベストアンサー

問いはそのままの文章を載せていますか？
選び方は？という問いなので
選び方は何通りある？と解釈します

>>ただし同じ色の3個に区別はないものとする。
ここがポイントです

9個から3個とりだすから、9C3のはず。

赤：(1)、(2)、(3)
白：(4)、(5)、(6)
黒：(7)、(8)、(9)

としますね。
3個取り出す選び方、なので
赤、赤、赤(1通り)
(1)、(2)、(3)

赤、赤、白(9通り)
(1)、(2)、(4)～(6)
(1)、(3)、(4)～(6)
(2)、(3)、(4)～(6)

赤、赤、黒(9通り)
(1)、(2)、(7)～(9)
(1)、(3)、(7)～(9)
(2)、(3)、(7)～(9)

赤、白、白(9通り)
(1)～(3)、(4)、(5)
(1)～(3)、(4)、(6)
(1)～(3)、(5)、(6)

赤、白、黒(27通り)
(1)～(3)、(4)～(6)、(7)～(9)

赤、黒、黒(9通り)
(1)～(3)、(7)、(8)
(1)～(3)、(7)、(9)
(1)～(3)、(8)、(9)
------------
白、白、白(1通り)
(4)、(5)、(6)

白、白、黒(9通り)
(4)、(5)、(7)～(9)
(4)、(6)、(7)～(9)
(5)、(6)、(7)～(9)

白、黒、黒(9通り)
(4)～(6)、(7)、(8)
(4)～(6)、(7)、(9)
(4)～(6)、(8)、(9)
------------
黒、黒、黒(1通り)
(7)、(8)、(9)

で、確かに84＝9C3とおりありますが。
>>ただし同じ色の3個に区別はないものとする。
この文が入っている場合は
(1)、(4)、(5)(赤、白、白)
(2)、(4)、(5)(赤、白、白)
は"同じもの"として計算します。

色の構成は
(1)全て同じ色
(2)全て違う色
(3)同じ色が2色、他の色が1色
で必ず構成されます

(1)全て同じ色(3通り)
これは、同じ色の玉を区別するとかしないとか、関係なく、
赤、白、黒、で3通りです

(2)全て違う色(1通り)
(1)～(3)、(4)～(6)、(7)～(9)
3(赤)×3(白)×3(黒)=27
(1)、(4)～(6)、(7)～(9)
(2)、(4)～(6)、(7)～(9)
(3)、(4)～(6)、(7)～(9)
は同じものなので
3で割ることで、3つの赤の玉を区別しない
と考えることができます
3(赤)×3(白)×3(黒)=27
→{3(赤)÷3(赤の玉の数)}×3(白)×3(黒)=9
同様にして、他の色も3で割るので
結局これは1通りになります

(3)同色２、違色１(6通り)
赤、赤、白の場合で考えてみましょう
(1)、(2)、(4)～(6)・・・A
(1)、(3)、(4)～(6)・・・B
(2)、(3)、(4)～(6)・・・C
これは全て区別するなら3(赤)×3(白)の9通り

しかし、(2)と同じようにA、B、Cは同じものですので
{3(赤)÷3(赤球の数)}×3(白)
また白の(4)～(6)も区別しないので
{3(赤)÷3(赤球の数)}×{3(白)÷3(白球の数)}
となりやはり1通りです。

赤、赤、白
赤、赤、黒
白、白、赤
白、白、黒
黒、黒、赤
黒、黒、白
で6通り

(1)3通り
(2)1通り
(3)6通り
で全部で10通りになります

一般的に、区別しない同じモノが入っている場合
区別した時の数を、区別しない同じモノの数でわればよいです
※(2)と(3)でやっていますね

(2)全部違う色
これは、赤球3個から1個、白球3個から1個、黒球3個から1個
なので、全部区別する時は
3C1×3C1×3C1
(赤玉の取り出し方)×(白玉の取り出し方)×(黒玉の取り出し方)
ですが、それぞれの色の取り出し方は区別しないので
3C1×3C1×3C1÷3÷3÷3=1となるわけです

(3)同色２、違色１
3C2×3C1・・・・これが6パターンあります
3C2×3C1÷3÷3=1
これが6パターンあるから
1×6

7個取り出す時はどんなパターンがあるんでしょうか
やってみてください
※取り出す色の組み合わせより、残される色の組み合わせを考えたほうがはやいかも

お礼

大変丁寧にありがとうございます。よくわかりました。

回答No.3

nag0720

(1)
赤球、白球、黒球とも３個（以上）あるので、３個取り出す時の選び方の数は、３種類の中から重複して３個取り出すのと同じです。
3H3=5C3=10

(2)
７個取り出すということは、２個残すことになるので、２個取り出す時の選び方の数と同じです。
3H2=4C2=6

回答No.1

nag0720

＞9Ｃ3とか9Ｃ7ではなぜだめなんでしょう。

同じ色の3個に区別はないのだから、例えば球に番号を付けた場合、
赤1,赤2,白1
赤1,赤3,白2
赤2,赤3,白3
などは、（赤,赤,白）の１通りとして数えます。

9Ｃ3では、これらを別々に数えることになります。

お礼

なるほど、ありがとうございます。
すみません、ではどのように解けばいいのでしょうか？