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3次関数の最大値
naniwacchiの回答
- naniwacchi
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＞f(x)=x^3-6ax^2+9a^2 最後の項は xが抜けていますか？ f(x)=x^3- 6a* x^2+ 9a^2* xであるとします。 ＞f '(x)= …= 3(x-a)(x+a) f '(x)= (x- a)(x- 3a)になりますね。 a＞ 0より a＜ 3aとなり、x= aで極大値、x= 3aで極小値を得るところもいいと思います。 f(a)= 4a^3, f(2)= 18a^2- 24a+ 8を比較したとき、必ず f(a)が大きいと言えますか？ f(a)= f(2)となる場合（高さが同じ）を考えてみてください。 3次関数のグラフは、2次関数のグラフと違って「軸（極点）に線対称」とはなりません。 ですので、大きさ比較は「高さ（y座標）」でおこなう必要があります。 「4a」という場合分けよりも、単純に aを 0から大きくしていき、 (iii) f(a)＜ f(2)のとき （0＜ a＜ 1/2のとき） (ii) f(a)≧ f(2)のとき （1/2≦ a≦ 2のとき） (i) 0≦ x≦ 2においては単調増加となり、f(2)が最大のとき （2＜ aのとき⇒極大点が xの範囲外） とした方がわかりやすいと思います。 上の (i)～(iii)は、質問者さんの場合分けに合わせています。
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お礼
申し訳ありません。 おっしゃるとおり最後の項はxが抜けています。 わかりやすいご説明ありがとうございました。