• ベストアンサー
※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:なぜ、双対問題(双対性)を考えるのですか?)

なぜ、双対問題(双対性)を考えるのですか?

Duke_Mikeの回答

  • Duke_Mike
  • ベストアンサー率28% (8/28)
回答No.2

(´・ω・`)ノこんばんわ 数学者ではありませんが、双対性の問題は電気回路でも出てくるし どこの分野でもあると思う。 まず双対性の議論をする前に双対性の定義を簡単に Aという集合があってBという集合がある Aの中のある性質a,bをa→b b→aに入れ替えたときに Aで成り立つことがらがBという場所でも成立する場合 AとBに関して a,bに関して双対性があるという風に言うのは 数学の群論だったかな?ではいいます。 人生論なんかでいくとあなたがある場所である経験をしたとします。 別の場所にいったら、今までの経験と対応したものがありそれが成立 していたとしたら、結構いいですよね?また今までの経験で有用だったものが別の場所でも有用であるということになります。 双対問題は今までの経験を新しい状況に対応させるまさに人生そのもの の理論ではないかと思います。 何か趣旨をはずれていたらすいません。

handstone
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 いろいろ考えてみましたが、欲しい答えではない感じです…。 >今までの経験で有用だったものが別の場所でも有用であるということになります。 今までの経験で有用だったもの…主問題の最適値? 別の場所でも有用である…双対問題の最適値? つまり、主問題の最適値=双対問題の最適値ということでしょうか。 そういうことは一応わかっているつもりです…。 >双対問題は今までの経験を新しい状況に対応させるまさに人生そのものの理論 うーん。。。新しい状況に対応・・・。 最適な目的関数値は一致しますが、 主問題の変数 X と双対問題の変数 Y は表すものが違うんですよね。。。 やはり、抽象的な回答でよくわかりません。ごめんなさい。

関連するQ&A

  • 線形計画問題の双対問題について疑問

    線形計画問題の双対問題について疑問 主問題  minimize 2x1 + 5x2 sublect to 3x1 + x2 <=3 2x1 + x2 >=5 x1, x2>=0 の双対問題はどうなるのですか? たとえば、 主問題  minimize 2x1 + 5x2 sublect to 3x1 + x2 >=3 2x1 + x2 >=5 x1, x2>=0 なら、 双対問題  maximaize 3y1 + 5y2 sublect to 3y1 + 2y2 <=2 y1 + y2 <=5 y1, y2>=0 となるということはわかるんですが・・・・ よろしくお願いします。

  • 非線形計画法 主-双対問題

    次のような制約付き最小化問題を考えています。 目的関数は非線形です。 min x1^2+x2^2 s.t. -x1-x2+4<=0 x1>=0 x2>=0 この問題の場合最適解は(x1,x2)=(2,2)であり、その時の目的関数値は8となります。 次に次式のような双対問題を考えます。 g(x)=-x1-x2+4とおき 双対関数 φ(u)=inf{x1^2+x2^2+u*(-x1-x2+4) : x1>=0 , x2>=0} =inf{x1^2-u*x1 : x1>=0}+inf{x2-2-u*x2 : x2>=0}+4*u 上記においてもしu>=0であれば、x1=x2=(u/2). (なぜなら、x1^2-u*x1をx1で微分するとx1=u/2となる。) u<0であるならばx1=x2-0であることに注目しますと。 φ(u)=-(1/2)*u^2+4*u for u>=0 =4u for u<0 となります. 双対関数がu>0の場合は最大がu=4であることに注目すると、その時の目的関数は8であり、主問題と双対問題の最適な目的関数値は一緒となります。 次に主問題を次のように制約を増やした最小化問題を考えます。 min x1^2+x2^2 s.t. -x1-x2+4<=0 -2*x1-3*x2<=0 x1>=0 x2>=0 これの最適解は上記の問題と同じにならないといけないのですが、 例えば、ラグランジュ関数F(x1,x2,λ1,λ2)を次のようにおき各変数で偏微分して最適解を求めると(λ:ラグランジュ乗数)、 F(x1,x2,λ1,λ2)=x1^2+x2^2+λ1*(-x1-x2+4)+λ2*(-2*x1-3*x2) 最適解はx1=12, x2=-8であり、その時の目的関数は208となり、前問と異なった解が得られました。 この原因は明確であり、ラグランジュ関数の中の各制約式が、偏微分して解を得ることで不等式制約ではなく等式制約とみなされたためです。 偏微分して解を求めなければいいのですが、どうしても偏微分でかいを求めたいために、、前門で示した双対問題を導入しましたが、結果は双対問題のほうでも偏微分するので一緒でした。 しかし、双対問題で得られた解。つまりuは主問題のλに相当し、KKT条件より必ず正である必要があるので、双対問題を解き、uが負になった制約式はの除いてそのあともう一度問題を解きなおす。つまり2番目の問題を前問に置き換える。 っといったことをして問題を解決させようとかんがえていますが、これは理論的に正しいのでしょうか。 これはほんの例題ですが、複数個の不等式制約式を扱い、かつ偏微分可能な最適化問題を解く際に、最適解に対して全てが有効制約になるとは限りませんので、どうかうまくいくアドバイスをください。

  • 数理計画法の双対問題の解法について

    私は現在、以下のような問題に取り組んでおります。 問題:次の線形計画問題の双対問題を解け。 minimize: z = 2x1+3x2+8x3 2x1+2x2+6x3 ≥ 6 x1+2x2+4x3 ≥ 4 x1,x2,x3 ≥ 0 私はこの双対問題のシンプレックス表を用いて解く方法が分かりません。 どなたか解答・解説をお願いします。

  • 双対問題について教えてください。

    変数がたくさんあるものがわからないです。 以下の問題の双対問題はどうなるか教えて下さい。 最大化:3X1+2X2+X3-X4+2X5 >条件:X1+3X2+2X3+X4+X5≦3 >    Xi≧0、i=1,2,3,4,5

  • 【至急!!】線形計画問題教えてください。

    次の問題を双対シンプレックス法により解け。 minimize 15x1+7x2+12x3 sub to x1x+2x+x3≧1 3x1+x2+x3≧2 x1,x2,x3≧0 双対シンプレックス法での解き方がいまいち分かりません。 双対シンプレックス法での解き方が分かる方教えてください(>_<)

  • シンプレックス法の問題

    線形計画、数学に詳しい方に質問です 以下の目的関数zを最大にするx1,x2,x3をシンプレックス表を用いて求めよという問題が解けませんでした z=x1+2x2-x3 2x1+x2+x3≦14 4x1+2x2+3x3≦28 2x1+5x2+5x3≦30 回答をお願いします

  • 双対問題について

    以下の問題の双対問題はどうなるか教えて下さい。 Max  x^2-2xy+2y^2 suject to  x^2+y^2=1 (-∞<x,y<∞)

  • 大学の問題なのですが、解けなくて困ってます…

    大学の問題なのですが、解けなくて困ってます… 線形計画問題 (1) Z=2X1-X2+X3-X4:最小化 X1+X2+2X3+X4=2 -X1+2X2-3X3+X4=1 X1,X2,X3,X4>0 1)実行可能基底解をすべて求めよ 2)X1,X2を基底変数とするシンプレックス表から出発して単体法で最適解を求めよ 3)この問題の双対問題を書け (2)線形計画問題に変形し単体法を用いて解け | X1-X2 |:最小化 2X1-X2+X3<2 3X2-X3<5 X1+X2+2X3>6 X1,X2,X3>0 (<,>は_がついてますが表記が?になるのであえてこれにしました) (2の方は目的関数の絶対値をとって単に計算したやつでも構いません) よろしくお願いします。

  • 線形計画問題

    線形計画問題をシンプレックス法で解きたいのですが、よくわかりません。シンプレックス表を作成して解こうとしているのですが、流れがよく分からず解けないのです…。問題をそのまま載せてしまいますが、自分では色々資料を見て考えたつもりです。 分かる方いらっしゃいましたら、どうかよろしくお願いします。 w=x+2y+5z→min s.t. 3x+4y+z≧8 x+2y+4z≧9 x≧0,y≧0,z≧0

  • シンプレックス解法の問題

    大学で生産計画の問題で次のような問題が出て解き方がいまいちわかりません。答えと解き方をなるべく分かりやすくお願いします。 問題:次の一般型生産計画法を2段階シンプレックス解法で解 け。 目的関数 z=1080y1+600y2+900y3 →最小化する 制約条件式 9y1+4y2+3y3≧70 4y1+5y2+10y3≧120 y1 y2 y3≧0 (1)第1段階線形計画法を定式化し、最適解を求めよ。 (2)第2段階線形計画法を定式化し、最適解を求めよ。