• 締切済み

数理計画法の双対問題の解法について

私は現在、以下のような問題に取り組んでおります。 問題:次の線形計画問題の双対問題を解け。 minimize: z = 2x1+3x2+8x3 2x1+2x2+6x3 ≥ 6 x1+2x2+4x3 ≥ 4 x1,x2,x3 ≥ 0 私はこの双対問題のシンプレックス表を用いて解く方法が分かりません。 どなたか解答・解説をお願いします。

みんなの回答

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

なにがわからないんでしょうか? 自分で書いていある通りのことをすればいいだけですよね?

関連するQ&A

  • 線形計画問題の双対問題について疑問

    線形計画問題の双対問題について疑問 主問題  minimize 2x1 + 5x2 sublect to 3x1 + x2 <=3 2x1 + x2 >=5 x1, x2>=0 の双対問題はどうなるのですか? たとえば、 主問題  minimize 2x1 + 5x2 sublect to 3x1 + x2 >=3 2x1 + x2 >=5 x1, x2>=0 なら、 双対問題  maximaize 3y1 + 5y2 sublect to 3y1 + 2y2 <=2 y1 + y2 <=5 y1, y2>=0 となるということはわかるんですが・・・・ よろしくお願いします。

  • 【至急!!】線形計画問題教えてください。

    次の問題を双対シンプレックス法により解け。 minimize 15x1+7x2+12x3 sub to x1x+2x+x3≧1 3x1+x2+x3≧2 x1,x2,x3≧0 双対シンプレックス法での解き方がいまいち分かりません。 双対シンプレックス法での解き方が分かる方教えてください(>_<)

  • なぜ、双対問題(双対性)を考えるのですか?

    現在、線形計画法を勉強中で、よくわからないことがあります。 例えばこのような問題があるとしまして、 主問題 max Z = 6X1 + 4X2(例えば収益を最大にしたい…) s.t. 2X1 + X2 =< 70    3X1 + 4X2 =< 180    X1,X2 => 0 双対問題 min W = 70Y1 + 180Y2(例えば費用を最小にしたい…) s.t. 2Y1 + 3Y2 => 6    Y1 + 4Y2 => 4    Y1,Y2 => 0 主問題の最適な目的関数値 Z と、 双対問題の最適な目的関数値 W は、必ず一致することは、 シンプレックス法で実際に解いて確認できます。できました。 (参考書として読んでいる本の、標準形での証明・説明はいまいちわかりませんでした…。) ですが、 なんらかの収益を最大にしたい…という問題を定式化して解けば、 その収益を最大にしたいときの最適解・最適値を求められるなら 主問題の方だけ充分ではないのでしょうか? 上記の式の例ですと式の規模(?)に大した違いはないですが、 問題によって、双対問題に作り直した方が計算しやすい? といったようなメリットがあるのですか? なぜ、双対問題を考えるのか、どなたか分かりやすく教えて頂けませんでしょうか。

  • シンプレックス法の問題

    線形計画、数学に詳しい方に質問です 以下の目的関数zを最大にするx1,x2,x3をシンプレックス表を用いて求めよという問題が解けませんでした z=x1+2x2-x3 2x1+x2+x3≦14 4x1+2x2+3x3≦28 2x1+5x2+5x3≦30 回答をお願いします

  • 非線形計画法 主-双対問題

    次のような制約付き最小化問題を考えています。 目的関数は非線形です。 min x1^2+x2^2 s.t. -x1-x2+4<=0 x1>=0 x2>=0 この問題の場合最適解は(x1,x2)=(2,2)であり、その時の目的関数値は8となります。 次に次式のような双対問題を考えます。 g(x)=-x1-x2+4とおき 双対関数 φ(u)=inf{x1^2+x2^2+u*(-x1-x2+4) : x1>=0 , x2>=0} =inf{x1^2-u*x1 : x1>=0}+inf{x2-2-u*x2 : x2>=0}+4*u 上記においてもしu>=0であれば、x1=x2=(u/2). (なぜなら、x1^2-u*x1をx1で微分するとx1=u/2となる。) u<0であるならばx1=x2-0であることに注目しますと。 φ(u)=-(1/2)*u^2+4*u for u>=0 =4u for u<0 となります. 双対関数がu>0の場合は最大がu=4であることに注目すると、その時の目的関数は8であり、主問題と双対問題の最適な目的関数値は一緒となります。 次に主問題を次のように制約を増やした最小化問題を考えます。 min x1^2+x2^2 s.t. -x1-x2+4<=0 -2*x1-3*x2<=0 x1>=0 x2>=0 これの最適解は上記の問題と同じにならないといけないのですが、 例えば、ラグランジュ関数F(x1,x2,λ1,λ2)を次のようにおき各変数で偏微分して最適解を求めると(λ:ラグランジュ乗数)、 F(x1,x2,λ1,λ2)=x1^2+x2^2+λ1*(-x1-x2+4)+λ2*(-2*x1-3*x2) 最適解はx1=12, x2=-8であり、その時の目的関数は208となり、前問と異なった解が得られました。 この原因は明確であり、ラグランジュ関数の中の各制約式が、偏微分して解を得ることで不等式制約ではなく等式制約とみなされたためです。 偏微分して解を求めなければいいのですが、どうしても偏微分でかいを求めたいために、、前門で示した双対問題を導入しましたが、結果は双対問題のほうでも偏微分するので一緒でした。 しかし、双対問題で得られた解。つまりuは主問題のλに相当し、KKT条件より必ず正である必要があるので、双対問題を解き、uが負になった制約式はの除いてそのあともう一度問題を解きなおす。つまり2番目の問題を前問に置き換える。 っといったことをして問題を解決させようとかんがえていますが、これは理論的に正しいのでしょうか。 これはほんの例題ですが、複数個の不等式制約式を扱い、かつ偏微分可能な最適化問題を解く際に、最適解に対して全てが有効制約になるとは限りませんので、どうかうまくいくアドバイスをください。

  • 線形計画問題

    線形計画問題をシンプレックス法で解きたいのですが、よくわかりません。シンプレックス表を作成して解こうとしているのですが、流れがよく分からず解けないのです…。問題をそのまま載せてしまいますが、自分では色々資料を見て考えたつもりです。 分かる方いらっしゃいましたら、どうかよろしくお願いします。 w=x+2y+5z→min s.t. 3x+4y+z≧8 x+2y+4z≧9 x≧0,y≧0,z≧0

  • 大学の問題なのですが、解けなくて困ってます…

    大学の問題なのですが、解けなくて困ってます… 線形計画問題 (1) Z=2X1-X2+X3-X4:最小化 X1+X2+2X3+X4=2 -X1+2X2-3X3+X4=1 X1,X2,X3,X4>0 1)実行可能基底解をすべて求めよ 2)X1,X2を基底変数とするシンプレックス表から出発して単体法で最適解を求めよ 3)この問題の双対問題を書け (2)線形計画問題に変形し単体法を用いて解け | X1-X2 |:最小化 2X1-X2+X3<2 3X2-X3<5 X1+X2+2X3>6 X1,X2,X3>0 (<,>は_がついてますが表記が?になるのであえてこれにしました) (2の方は目的関数の絶対値をとって単に計算したやつでも構いません) よろしくお願いします。

  • 双対問題について教えてください。

    変数がたくさんあるものがわからないです。 以下の問題の双対問題はどうなるか教えて下さい。 最大化:3X1+2X2+X3-X4+2X5 >条件:X1+3X2+2X3+X4+X5≦3 >    Xi≧0、i=1,2,3,4,5

  • 線形計画

    線形計画の双対問題についてわからないところがあるので教えてください。 http://home.hiroshima-u.ac.jp/~kato/b_mp1/MP1_12_20061219_an...双対問題' の(2)の問題の解答のところなんですけど 最初に標準形に変換するときなんでわざわざX2=X2+ - X2- としているのでしょう? 普通にX3を追加して=にしMAXの符号を変えてMINにすればいいのではないでしょうか? またここではX2を1行目のようにしてますがこれはX1ではいけないのでしょうか? わかりにくい質問かと思いますが教えてください。

  • 線形計画問題を単体法を使って解く問題です。

    タブローを使ってとこうとしたのですが制約式にx_2の項がない場所があったため0で割れず行き詰まってしまいました。 解答も解説もなく行き詰まっているため、親切な方詳しい解答・解説をおねがいします。 主問題 Max 2x_1+3x_2+x_3 s.t.x_1+x_2+x_3≦1 -2x_1+x_3≧1 x_1,x_2,x_3≧0 1)単体法を用いて解き、最適解と最適値を過程を記し求めよ。 2)双対問題を記し、1)の結果と相補性定理を用いて最適解を求めよ。 3)ある非負の実数kを用いて主問題の目的関数を(2+k)x_1+3x_2+x_3と変化させた線形計画問題をP'とする(制約式は同じ) 1)で求めた最適解がP'の最適解で在り続けるためのkの範囲を求めよ。