明日、微分のテストがあるのですが…

質問

やはり解けませんでした!!
今まで他の問題はすべて解いてきたのですが、
これらだけが解けません；

（１）～（１３）は微分で、
次の（１）～（６）は対数微分方により微分
をしないといけません。

（１）は()のところに2乗付け忘れました。

あともう一つ分からないのですが、
sin^3t　を微分すると何になりますか？

回答、よろしくお願いします!!

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

(1) ～ (7), (9) ～ (13)に関しては、
まず与えられた式が「何と何を合成した関数なのか」ということを考えましょう。
(8)に関しては、「cos^3xは何と何を合成した関数なのか」を考えましょう。
それさえわかれば、合成関数の公式に当てはめるだけです。
例えば(9)のsin(cosx)なら、
f(x) = sinxとg(x) = cosxの合成関数f(g(x))です。
後は公式{ f(g(x)) }' = f'(g(x))g'(x)にあてはめます。

f'(x) = cosx
よってf'(g(x)) = cos(g(x)) = cos(cosx)
g'(x) = -sinxなので
{ f(g(x)) }'
= f'(g(x))g'(x)
= -(sinx){ cos(cosx) }

> 次の（１）～（６）は対数微分方により微分
> をしないといけません。

例えばy = x^xという関数を例に挙げて説明します。
対数微分法はまずあたえられた関数の式の両辺の対数をとります。
y = x^x
↓
log(y) = log(x^x)
のような感じにです。
あとはこの両辺を「xで」微分します。

まず左辺のlog(y)をxで微分します。
これはf(x) = log(x)とg(x) = yの合成関数なので、

f'(x) = 1/x
∴f'(g(x)) = 1/(g(x)) = 1/y
g'(x) = y'
よって
{ log(y) }'
= { f(g(x)) }'
= f'(g(x))g'(x)
= (1/y)y'
= y'/y

以上より左辺をxで微分するとy'/yとなります。

次に右辺のlog(x^x)をxで微分します。
log(x^x) = xlog(x)なので（この変形は対数の基本性質）

{ log(x^x) }'
= { xlog(x) }'
= x(1/x) + logx　（積の微分公式を利用）
= 1 + logx

以上より右辺をxで微分すると1 + logxです。
よってlog(y) = log(x^x)の両辺をxで微分すると
y'/y = 1 + logx
両辺にyをかけると
y' = y(1 + logx)
となります。
最後に、y = x^xなのでこれを先ほどの式の右辺に代入すると
y' = (x^x)(1 + logx)
となります。

> あともう一つ分からないのですが、
> sin^3t　を微分すると何になりますか？

何で微分するのでしょうか？
xで微分するのでしょうか？tで微分するのでしょうか？
tで微分するという前提でお答えします。

sin^3tはf(t) = t^3とg(t) = sintの合成関数f(g(t))です。
f'(t) = 3t^2なので、f'(g(t)) = 3(g(t))^2 = 3sin^2tとなります。
よって

{ f(g(t)) }'
= f'(g(t))g'(t)
= (3sin^2t)(cost)
= 3(sin^2t)(cost)

となります。

回答No.1

waiwai_21

問題が書かれていませんが、09/11/29 17:19に質問されたものと同じとして説明します。

まず前提として、
x^a, sin(x), cos(x), tan(x), e^x, log(x)
などの基本的な関数の微分は理解されているとします。
これらに加えて、
積の微分：(fg)' = f'g + fg'
商の微分：(f/g)' = (f'g - fg')/g^2
合成関数の微分：y=f(u), u=g(x) のとき、 dy/dx =(dy/du)(du/dx)
を知っていれば、大体解けます。

例としてy = (sin(t))^3を解いてみます。
まずu=sin(t)とおくことで、y=u^3, u=sin(t) の合成関数と見ます。
このとき
dy/du = 3u^2, du/dt = cos(t)
なので、合成関数の微分法則より
dy/dt = (dy/du)(du/dt) = 3u^2 cos(t) = 3(sin(t))^2 cos(t)

(1)～(13)も同様にすれば解けるので、後は自分でやってください。

対数微分法は両辺の対数をとってから微分する方法です。
例としてy=3^xを解いてみます。
まずlog(y) = log(3^x)としたあとに左辺, 右辺それぞれをxで微分します。
左辺は合成関数の微分法則を使うことに注意してください。
左辺の微分は、
d(log(y))/dx = ( d(log(y))/dy )( dy/dx ) = (1/y) (dy/dx) ・・・( i )
右辺の微分は、
d(log(3^x))/dx = (xlog(3))/dx = log(3) ・・・( ii )
( i ), ( ii )より、
(1/y) (dy/dx) = log(3)
つまり
dy/dx = y log(3) = 3^x log(3)

(2)～(6)は自分で解いてください。