回路システムの宿題なのですが・・・困っています

質問

回路システムの宿題なのですが・・・困っています。
先程は、見づらい画像で申し訳ございませんでした。
以下の問題がわからなくて困ってます。
どなたか解法と答えを教えてください。
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下記の回路について以下の問いに答えよ。
Is(t)=sinωt[A],R=1[Ω],L=0.5[H],C=0.5[F]であり、
回路は零状態（初期条件がすべて0)であるとする。

（１）時刻t>0において、LCに流れる電流ILC（ｔ）に成り立つ回路方程式をたてよ。

（２）上式より、ILC(t)のラプラス変換ILC（ｓ）を求めよ。
（３）（２）の逆ラプラス変換によりILC(ｔ）　（過渡応答）をもとめよ。ただし、ω＝２[rad/s]とする。
（４）（３）において充分に時間が経過したときのILC(ｔ）（正弦波定常応答）と、LCに対するフェーザ電流ILCから求めた実信号形式ILC(ｔ）
が一致することを証明せよ。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

問題の丸投げはダメなので、わかる所までの解答を補足に書いて、わからない所だけ訊くようにして下さい。

補足

まず、(1)からわからないのです。
電圧が書いてないので、どのように回路方程式を立てていいのかもわかりません。

回答No.3

info22

#1,#2です。
>>R{sinωt-i(t)}-Ldi(t)/dt-(1/C)∫[0,t]i(t)dt=0　…（●）
R=1[Ω],L=0.5[H],C=0.5[F]を代入
sinωt-i(t)-0.5di(t)/dt-2∫[0,t]i(t)dt=0
i(t)+0.5di(t)/dt+2∫[0,t]i(t)dt=sinωt …(1)の答え

>(2)ですが、
>ラプラス変換すると、
>R(ω/(s^2+ω^2)-i(s))-L(si(s))+1/c(i(s)/s)=0
R(ω/(s^2+ω^2)-I(s))-LsI(s)-I(s)/(Cs)=0

R=1[Ω],L=0.5[H],C=0.5[F]を代入
(ω/(s^2+ω^2))-I(s)-0.5sI(s)-(2/s)I(s)=0
I(s)+0.5sI(s)-(2/s)I(s)=ω/(s^2+ω^2)
ラプラス変換した電流や電圧は大文字で書いて時間の関数i(t)とラプラス変換の関数I(s)と区別しないといけません。

>i(s)=(Rω/s^2+ω^2)/(sL+1/(cs)+R)

I(s)=ω/{(s^2+ω^2)*(1+0.5s+(2/s))}
=2ωs/[(s^2+ω^2)(s^2+2s+4)}　…(▼)　←(2)の答え

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>L→Rにして、
>i(s)=(Rω/s^2+ω^2)/(sR+1/(cs)+R)
=================================
>でいいのでしょうか？とても不安です
これは意味不明。全くだめ(要削除)。

(3)
(▼)にω=2[rad/s]を代入
I(s)=4s/[(s^2+4)(s^2+2s+4)}
部分分数展開して
={2/(s^2+4)}-{2/(s^2+2*s+4)}
={2/(s^2+4)}-[2/{(s+1)^2+3}]

ラプラス変換公式を逆に使って、ラプラス逆変換すると
i(t)=sin(2t)-(2/√3){e^(-t)}sin((√3)t) [A] ←(3)の答え

(4)
t>>1とすれば、{e^(-t)}→0
このとき
i(t)=sin(2t)　…(■)←正弦波定常応答

一方、フェイザー解析すれば
ILC{j2*0.5-j/(2*0.5)}=1*(I∠0°-ILC)
ILC(j-j)=I∠0°-ILC
ILC=I∠0°フェイザ電流
実信号形式
iLC(t)=sin(2t) …(◆)
(■)と(◆)が一致。

（注意）ここの記載内容は公開されているので
丸写しは宿題と出来ない。自分で消化して、書き換えてまとめること。

お礼

深夜にまで及ぶ問題解説ありがとうございました。
これからは授業についていけるようよく復習してみたいと思います。

補足

I∠0°とはなにか解説お願いできないでしょうか？
すいません。

回答No.2

info22

>電圧が書いてないので、どのように回路方程式を立てていいのかもわかりません。
電気回路の最初に書いてあるキルヒホッフの電流則および電圧則が理解できていないようですね。教科書を最初から復習してなおして下さい。

キルヒホッフの電流則は
(以降iLC(t)をi(t)とおく)
左端の3差路交差点のノードにおいて
流入する電流と流出する電流のは等しいので

　sinωt=i(t) + {sinωt-i(t)}

RLCのループに
キルヒホッフの電圧則を適用して

　R{sinωt-i(t)}-Ldi(t)/dt-(1/C)∫[0,t]i(t)dt=0　…（●）

(2)回路方程式(●)をラプラス変換してI(s)を求め、

(3)逆変換しやすいようにI(s)を部分分数展開する。
その後、ラプラス変換の公式を逆に使ってi(t)を求めれば良い。

(4)減衰項e^(-kt)(k>0)が含まれる項は十分時間がたてばなくなるので、
取り除いた定常項だけ求めて考えればよい。

後はご自分で教科書のラプラス変換の所をよく読んでやってみてください。

質問があれば、やった途中計算を補足に書いて、その先のどこが分からないのかを聞いてください。

補足

返答ありがとうございます。
(2)ですが、
ラプラス変換すると、
R(ω/(s^2+ω^2)-i(s))-L(si(s))+1/c(i(s)/s)=0
i(s)=(Rω/s^2+ω^2)/(sL+1/(cs)+R)
L→Rにして、
i(s)=(Rω/s^2+ω^2)/(sR+1/(cs)+R)
でいいのでしょうか？とても不安です