このゲームの期待値を教えて下さい。

質問

釘が互い違いに並んだパチンコ台にｘ軸とｙ軸を書きます。（ｘ、ｙ）の（０、０）がパチンコ台の底辺の中央になるように。そして台の上部中央から玉を100コ落とし、玉が底辺に落ちた時のｘ軸の値が得点となるゲームとします。この状態で玉を落としたら正規分布するので期待値は０ですよね？

では、ｘ≧１０のエリアにある釘をすべて抜いてしまい、釘のないエリアに落ちた玉の得点はすべて１０点とする時、このゲームの期待値を教えて下さい。

説明が分かりづらかったかもしれませんが、要するに、玉が落ちていく過程でｘ＝１０のラインに接したらコースアウトとし、その玉の得点はすべて１０点にするという意味です。

宜しくお願いしますm(__)m

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

一応念の為ですが, 厳密には正規分布ではありません. 二項分布になるはずです.
どちらも初期値を中心として対称なので期待値は同じですが, 分散が異なるはず.

回答No.2

Tacosan

しまった, アホだった.... プログラムの出力をじっと見て, ようやく気付いたよ....
期待値は正確に 0 です.
ある時点で x座標が x (< 10) であるパチンコ玉はその次には x+1/2 と x-1/2 にそれぞれ 1/2 の確率で動きますから, このときの期待値の変化は
(1/2)(x+1/2) + (1/2)(x-1/2) - x = 0
です. また, x座標が 10 となったパチンコ玉についてはその次も 10 として考えればよく, 従って期待値の変化はやはり
10 - 10 = 0
です. つまり, どの段階においても期待値は変化しないことになります. 最初の時点で期待値は 0 ですから, 当然最後でも期待値は 0 のままです.
一番最後の段階で「x 座標が 10以上のものはすべて 10 として計算する」ってことだと 0 にならない (負の数になる) んだけどね....

お礼

Tacosanさん、教えていただきありがとうございます。

色々考えてやっと分かりました。ｘ＝１０をスタート地点とし玉を流したらｘ＝１０を頂点とする正規分布で期待値は１０。よって、コースアウトした玉を１０点として処理しても問題ないんですね。

もし、期待値が最大となるｘ＝aの値があれば知りたいなと思ったんですが、
なかったんですね。。　ありがとうございました＾＾

回答No.1

Tacosan

・「釘が互い違いに並んだ」とはどのような状態でしょうか? せっかく座標を導入するのだから, 釘の位置を座標で指定してください.
・「台の上部中央」とは, 座標で表すとどこなのでしょうか?
・パチンコ玉が釘に当たると玉の軌道は変化します. どのように変化するのでしょうか?
最低限, これくらいはないと答えられないような気がする. そもそも, 最初の場合ですら「正規分布」とはいえないはず (理想的な場合を仮定すれば左右対称な分布になるので期待値は 0 となりそうではある).

お礼

そうですね。ごめんなさい。。

では、「台の上部中央」は（０、５０）とし、釘の最上段はｙ＝４０でｘが整数の位置に釘があり、ｙ＝３９の段はｘの小数点が０．５になる位置に、ｙ＝３８の段はまた整数の位置に・・・　とし、ｙ＝１の段まで釘があるとします。

玉が釘に当たった時、大きくジャンプしたりはせず、釘のすぐ右か左にそれぞれ１/２の確立で流れるとします。また、玉同士の衝突などはないことにし、理想的な場合を仮定します。

宜しくお願いします。