助けて

質問

わからないです。
さっぱり。
だれか、おねがい。。

(1)　　　　　　　　　　　　　　　π/2
0以上の整数nに対してIn=∫ ｛(sinX)＾n｝Xdxとおく。
　　　　　　　　　　　　　　　　　0　
このとき、I n＋2と　Inの形式をもとめる。　

（2）
正整数p,qに対して、B(p,q)
　 　　　1
　　=∫　｛X＾(p-1)｝(1-x) ＾q-1 dxとおく。
　　　0
Ｂ（ｐ、ｑ）をp,qで表す

（3）
正整数pに対して、Γ(p)
　　∞
=∫ ｛Ｘ＾(p-1)｝ ・e＾-x dxとおく。
　　　0　
Γ(p)をPで表せ。

Γってなに？

回答No.3

mmky

参考程度に
(1)0以上の整数nに対してIn=∫[0～π/2](sinx)＾n xdxとおく。 このとき、I n＋2と　Inの形式をもとめる。(sinx)＾n x　であれば以下の手順でしょうか。

In=∫[0～π/2](sinx)＾n xdx
=∫[0～π/2]x(sinx)＾n-1*sinx dx
=-cosx*{x(sinx)＾n-1}
+∫{cosx{(sinx)＾n-1+x(n-1)(sinx)＾n-2(cosx)}}dx
第一項は、-cosx*x(sinx)＾n-1=0
第二項は、dsinx/dx=cosx, dsinx=cosxdx　を考慮して、
=(1/n)(sinx)＾n +(n-1)∫x(sinx)＾n-2(cosx)＾2dx
=(1/n) +(n-1)∫x(sinx)＾n-2{1-(sinx)＾2}dx
=(1/n)-(n-1)In+(n-1)∫x(sinx)＾n-2dx
n*In=(1/n)+(n-1)∫x(sinx)＾n-2dx
だから
In=(1/n＾2)+{(n-1)/n}In-2
In+2={1/(n+2)＾2}+{(n+1)/n+2}In

（3）については、pが整数でΓ(1) =1 ですから、
Γ(p)＝(p-1)(p-2)(p-3)・・・1
＝(p-1)!　
ですね。
Γ(p)=∫[0～∞]{x＾(p-1)}e＾-x dx
の形式の積分で表現される関数をガンマ（Γ）関数と呼ぶのですね。

回答No.2

noname#24477

（１）∫（－cosｘ）’（sinｘ）^(n-1)dx
として部分積分
(cosx)^2がでてきたら１－(sinx)^2　で書き換える

回答No.1

noname#5277

大学生のようですね。
とりあえずヒントだけ。

（1）これ、問題合ってます？

（2）部分積分法を用います。
　B(p,q) = ∫｛X＾(p-1)｝(1-x) ＾q-1 dx
　　　= ［(1/p)x^p (1-x)^(q-1)］
　　　　　　+ (q-1)/p∫｛X＾p｝(1-x) ＾q-2 dx
　　　= (q-1)/p B(p+1,q-1)
これを繰り返すと
　B(p,q) = (p-1)!(q-1)!)/(p+q-3)! ∫X＾(p+q-2) dx
　　　=(p-1)!(q-1)!)/(p+q-2)!
となると思いますが、あまり自信なし。
確認はご自分でお願いします。

（3）Γはγの大文字です。
あとはわりと今までと一緒で、
　Γ(p) =∫ ｛Ｘ＾(p-1)｝ ・e＾-x dx
　　　= -[｛Ｘ＾(p-1)｝・e^-x ]
　　　　　+ (p-1)∫ Ｘ＾(p-2)・e＾-x dx
　　　= (p-1)Γ(p-1)
　　　= ・・・ = (p-1)!Γ(1)
これで計算できるでしょう。