正三角形について

質問

座標が(0,0)から(100,100)の枠内で一番大きな正三角形を
作りたいのですがその場合の３つの頂点座標を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

4028 · ベストアンサー

一辺を１００にするとピタゴラスの定理より
高さは５０×√３＝８６、６０２５４０３８・・・

(０,０)(１００,０)(５０,８６、６０)

コンパスで書いた方が早いです

回答No.5

naniwacchi

#3です。

ご指摘されているとおり、正三角形にはなっていませんでした。
とんだ勘違いでした。

失礼しました。

回答No.4

staratras

結論はNo.2の方と同じです。（No.3の方の3点の座標では正三角形になりません）

まず、原点とX軸上の端の点A(100,0)を1辺とする正三角形を考えますと、もう一つの頂点Pの座標は（50,50√3）となり、明らかに題意の枠内にあります。しかし、これが最大かといえばそうではなく、点Aをx座標が100のままもう少し上の方に移動させることができます。この点をA’（100,y）とし（ただし０<y<100）、OA’を１辺とする正三角形ＯA’P'を考えますとOP’=√（100＾2+y＾2）、∠P'OA=60度+∠A'OAなので　yを増加させるにつれて点P’は原点からの距離を増加させつつY軸方向に接近します。そして点P’のY座標がY=100となったときが、正三角形の大きさが最大に達したときです。
このとき、OA’＾2=OP＾2=100＾2+y＾2…(1)　　A’P’＾2=(100-y)＾2+(100-y)＾2…(2)　です。
(1)=(2)　より　y２-400y+10000=0　です　これを解くと　y=100(2±√3）で、yの範囲を満たすのは複号がマイナスの方です。

まとめますと、題意を満たす正三角形の3頂点の座標の一例は（0,0）(100(2-√3）,100)（100,100(２-√３))です。
この計算では一つの頂点を原点にしましたが、もちろん例えば(100,100）にしてもよく、その場合は他の2頂点の座標も変わってきます。（またこの解法では、題意を満たす正三角形の頂点の一つは、正方形の枠の端の点(正方形の頂点）にあることを自明のこととしていますが、厳密にはこれも論証する必要がありそうです。）

回答No.3

naniwacchi

計算間違いでなければ、次のも大きいかと。

1) 正三角形は、その外接円と重心は一致しています。
2) 正方形の重心（対角線の交点）を中心とし、と正方形と3つの交点をもつ円を考えます。
3) この円の半径が最大となるものを選べば、一辺の長さが最大になります。

半径を最大にするには、半径を正方形の半分～正方形の一点とすればよいです。
半径は正方形の対角線の半分となるので、R＝ 100√2÷2＝ 50√2となります。
これより、正三角形の一辺は a＝ 50√6≒ 122.47となります。

ちなみに、3点の座標は以下のようになります。
(0, 0), (50√2, 100), (100, 50√2)

回答No.2

nag0720

(0,0)、(100,100(2-√3))、(100(2-√3),100)
を頂点とすれば、１辺が100(√6-√2)≒103.53の正三角形になります。