線形代数の質問です

質問

ベクトルの外積を用いて定義されるベクトル3重積なのですが，その定理である
x×(y×z)=(x・z)y-(x・y)z
という式の概念は一体どのようなものなのでしょうか．証明はわかるのですが，この式の意味や有用性について教えてください．
あるいは，詳しく載っている本があれば紹介願います．

よろしくお願いします．

回答No.2

noname#221368

外積なので3次元でOKですよね？。外積y×zの幾何学的意味は、ご存知ですよね？。

　y×zは、yにもzにも直行するので、yとzが張る平面Ｌに直行するベクトルです（皆さん、「擬ベクトルだぁ～！」と突っ込まないで下さいね~~）。平面Ｌの方位ベクトルに平行です。

　x×(y×z)は、xにもy×zにも直行するので、結局（3次元なので）、x×(y×z)は平面Ｌ内に戻って来ます。だって、Ｌの方位ベクトルy×zに直行するんだから。

　Ｌはyとzが張る平面なので、yとzが独立ならば、yとzは2次元平面Ｌの座標軸（基底）とみなせます。x×(y×z)のyとzへの射影成分は、xで決まるはずです。それが、(x・z)と-(x・y)です。射影なので、内積が出てきます。

　#1さんの仰る通りですが、上のように考えれば見やすい（わかりやすい？）かも知れません。ただしベクトル解析に出てくる、∇やΔなどの微分演算を対象にする場合は、上のような幾何学的意味とは別だと考えるのが安全です。でも、代数的には似た計算過程になります。

　外積は、狭い意味での初等線形代数には入ってきません（文部省のせいです。本当は、線形代数の一部です）。それは大学の初等教育の中では、ベクトル解析の名で分離されています。本がみつからないのは、そのせいではないですか？。

回答No.1

_takuan_

二回の外積計算が二回の内積計算で済むのです。そのメリットは言うまでもないでしょう。

用途としては、ベクトル解析を多用する物理学、例えば、電磁気学などですね。電磁波の存在証明をする時に用います。
その場合、大概は微分演算子を交えて使用します。
　　∇×(∇×E)＝∇(∇・E)-∇^2*E
他にも、電流に磁場を掛けたときに生じる力のモーメントを求める場合も使用します。
　　R×F＝R×iL×B＝i{　(R・B)L-(R・L)B　}　　(大文字はベクトル)
てな感じで、電磁気関連の科目では満遍なくお世話になります。この公式を失念していた人はテストの際時間が足りなくて苦労していたという事実も有りますしｗ