重積分? ベクトル解析? についての質問です。

質問

重積分? ベクトル解析? についての質問です。

xyz空間内の半円柱面 y^2 + z^2 =1 , 0≦z　を
2つの平面 x=0 , x=1によって切り取った時に得られる曲面に対し、
ベクトル場 F = yzj + z^2k　が外向きに貫く流束を求めよ。

という問題です。

体積V=π/2　と∇・F=z+2z=3z　と発散定理
を使うということはなんとなく解るのですが
ここからどうしたら良いか解りません。

よろしくお願いします。

回答No.1

noname#185706 · ベストアンサー

>∇・F=z+2z=3z　と発散定理を使う

それでいいです。３重積分を実行してください。x に関する積分 [0 → 1] はすぐできますね。y に関しては積分区間が z の関数になります。最後に z に関して積分します。

あるいは、次のような解法もあります。
まず、x = 0, 1 での断面以外の面を考えます。そこでの半円柱面の法線ベクトルは n = (y,z) なので、それとベクトル F との内積は
F・n
= yz・y + z^2・z
= (y^2) z + z^3 ．
ここで
tanθ = z/y
とすると
y = cosθ
z = sinθ ．
よって
F・n
= cos^2θ sinθ + sin^3θ
= sinθ(cos^2θ + sin^2θ)
= sinθ
これを x 軸に垂直な断面との交線にそって積分すると
∫(F・n) dl
= ∫(F・n) 1・dθ
= ∫[0→π] sinθ dθ
= (-cosπ) - (-cos0)
= 1 + 1
= 2
これを x 方向へ積分すれば
∫[0→1] 2 dx
= 2 (1 - 0)
= 2

次に、x = 0, 1 での断面を考えます。ここではベクトル F は x 方向の成分を持たないので、流束はありません。

結局、求める流速は
2 + 0 = 2

お礼

回答ありがとうございます。
自分が予想していたより難しい問題でしたが、
なんとか理解できました！！

回答No.3

aquatarku5

半円柱面と2平面x=0,x=1を境界とする内部の領域において、
その微小体積dv=dx*dr*rdθ　と表す（y,z平面に対して極座標を適用）。
　但しy=rcosθ, z=rsinθ、0<=x<=1,0<=r<=1,0<=θ<=π

このとき、発散定理より、
求めるべき流束∫_境界面∂V{ベクトルＦ・ベクトルdS}
=∫_領域の体積V　{∇・Ｆ}dxrdrdθ
=∫_領域の体積V　{3rz}dxdrdθ
=∫{0～1}dx∫{0～1}dr∫{0～π}dθ{3r^2*sinθ}
=1*∫{0～1}3r^2dr∫{0~π}sinθdθ
=1*1*2=2

以下、発散定理を使わない解法での検算
上記x,r,θを用いると、
半円柱面では、
　ベクトルdS=dxrdθ*(i0+jcosθ+ksinθ)
　ベクトルＦ=i0+jyz+kz^2=jr^2sinθcosθ+kr^2sin^2θ　で、r=1
　よって、
　流束=∫_半円柱面　dxr^3dθ(sinθcos^3θ+sin^3θ)
　=r^3∫{0～1}dx∫{0～π}sinθdθ=1^3*1*2=2

x=0,x=1における半円の面では、ベクトルdS⊥ベクトルFなので流束=0

z=0における長方形の底面では、ベクトルF=ゼロベクトルなので流束=0

以上から、求める流束=2+0+0=2

お礼

求め方はいくつかあったのですね！！
とても丁寧に回答していただいてありがとうございます。

回答No.2

noname#185706

＃１で、

>n = (y,z)

を

n = (0,y,z)

へ訂正します。