線形代数わかりません・・・

質問

W=｛(x,y,z)∈R^3｜x-y+z=0, 2x+3z=0, x+5y+4z=0｝

においての基底の求め方というのはどうすればいいんですか。

自分なりに
行列に直す⇒行に関する基本変形⇒2番目の式が1番目と3番目の一次結合⇒1番目と3番目の式は一次独立⇒1番目と3番目の式は一組の基底
という感じでやってみたのですが、はっきりと基底等このあたりの話を理解できていないため、おそらく間違ってるんでしょう

また、Wの直交補空間とその一組の基底と次元も求めないといけないのですが、それについても教えていただければ助かります。

どうか宜しくお願いいたします。

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

W={
(x,y,z)∈R^3|
((x,y,z),(1,-1,1))=x-y+z=0,
((x,y,z),(2, 0,3))=2x+3z=0,
((x,y,z),(1, 5,4))=x+5y+4z=0
}
Wの直交補空間を⊥Wとすると
⊥W={(t,u,v)∈R^3|((t,u,v),(x,y,z))=tx+uy+vz=0,(x,y,z)∈W}
(x,y,z)∈Wに対して内積
((x,y,z),(1,-1,1))=x-y+z=0→(1,-1,1)∈⊥W
((x,y,z),(2, 0,3))=2x+3z=0→(2, 0,3)∈⊥W
((x,y,z),(1, 5,4))=x+5y+4z=0→(1, 5,4)∈⊥W
だから
{(1,-1,1),(2, 0,3),(1, 5,4)}⊂⊥W
rank{
(1,-1,1)
(2, 0,3)
(1, 5,4)
}=2=dim(⊥W)
だから
(⊥W)の基底数は2だから
{(1,-1,1),(2, 0,3),(1, 5,4)}の内の一次独立な2つが基底となるから
(⊥W)の基底は
{(1,-1,1),(2, 0,3)}又は{(1,-1,1),(1, 5,4)}
のどちらでもよい。
dim(W)=dim(R^3)-dim(⊥W)=3-2=1
Wの基底数は1だから
Wの任意の0でない元の1つが基底となるから
2x=-3z
x/3=z/(-2)=t
x=3t
z=-2t
y=x+z=t
x:y:z=3:1:-2
Wの基底は(3,1,-2)
∴⊥W={(x,y,z)∈R^3|3x+y-2z=0}

お礼

本当にありがとうございました！理解することができました。

回答No.2

alice_44

W の定義式を、行列と列ベクトルで束ねて、
Ax = 0 と書いてみます。A は 3×3 の行列です。

質問文中の論点は、dim Span A = rank A = 2
であることを正しく捉えていますが、
問題は Span A ではなく Ker A の基底を求めよ
ということなので、ちょっと遠いですね。

第1行と第3行が「何の」基底になっているのかは、
A No.1 に説明されています。
それを使えば、W = Ker A の基底も求まる
という訳です。

補足

ありがとうございます。

もう片方の補足を書いてしまってから気づいたのでこちらで書かせていただきます。
問題の順番は
Wの一組の基底と次元を求めよ⇒Wの直交補空間⊥Wを求めよ⇒⊥Wの一組の基底と次元を求めよとなっていますが、もしANo1の方の答え方ですと、まず⊥Wの基底と次元がもとまってから、Wの次元がもとまって最後にWの基底がもとまる感じになっていますが、これは最初にWの基底や次元の計算をしても問題はないですか。

宜しくお願いします。

回答No.1

muturajcp

Wの直交補空間を⊥Wとすると
rank{
(1,-1,1)
(2, 0,3)
(1, 5,4)
}=2=dim(⊥W)
(⊥W)の基底は{(1,-1,1),(2, 0,3)}
だから
dim(W)=dim(R^3)-dim(⊥W)=3-2=1
2x=3z
x/3=z/(-2)=t
x=3t
z=-2t
y=x+z=t
x:y:z=3:1:-2
Wの基底は(3,1,-2)

補足

.ありがとうございます。

｛(⊥W)の基底は{(1,-1,1),(2, 0,3）｝

どうしてここがこうなるのかがよくわからないので丁寧に教えていただけませんか？Wの1行＆3行が⊥Wの基底になる理由です。

それ以外に関しては大体理解することができました。
つまり、Wの基底⇒(3,1,-2)、次元⇒1で⊥Wの次元は2ということでいいんですね！

あとWの直交補空間⊥Wを求めよ
という問題に対してはどうやって答えるのがいいんですか？

宜しくお願いいたします！