減衰振動においての時定数と対数減衰率

質問

x''+2*k*x'+(w^2)*x=0で、ｋ＜ｗの時は減衰振動して、

x=A*exp(-k*t)*cos{√((w^2)-(k^2))*t+α}

という解になりますよね。

x'はxの微分。

√((w^2)-(k^2)は、ルートの中に「wの２乗－kの２乗」が入ってます。

このとき、1/kが時定数です。

また、x'=0の時、xの変位は最大値をとり、時間が経つにつれてその変位の最大値は減少していきます。

今、xの変位の最大値を考え、
xの変位の最大値においてx>0の場合を考えます。

このとき、横軸を時間、縦軸をlnxをとるとその傾きは直線となり、その傾きの値を対数減衰率というと本に書いてありました。

対数減衰率＝2*k*π/√((w^2)-(k^2))

と書いてました。これは納得できるのですが、

時定数の求め方(http://qa.cyzo.com/qa4583253.html)を見ますと、

対数減衰率＝M*時定数(Mは何らかの値)
という風になる気がします。

つまり、「時定数を別の言い方で言うと、対数減衰率」という気がします。(「周期Tを別の言い方で言うと、周波数f」。T=1/fというような関係があるような気がします。)

時定数と対数減衰率には何らかの関係があるのでしょうか？

それとも、二つは全くの別物で独立なのでしょうか？
(「周期Tと振幅Aは全くの別物。)

よろしくお願いします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

ｋ,wは元の微分方程式に表れている量であり、対数減衰率＝2*k*π/√((w^2)-(k^2))であって、これ以上のものではありません。
なお、​http://qa.cyzo.com/qa4583253.htmlはtitleが問題があるのか、開くことに警告が出ましたので注意してください。

お礼

ありがとうございました。