連続写像の単調増加についての問題の添削をお願いします。

質問

f(x) は区間 [0,1] 上で連続かつ f(0) ＜ f(1)
をみたすものとし、さらに写像として 1:1
( f(x) = f(x') となるのは x = x' の場合に限る )　とする
このとき f(x) は [0,1] 上で単調増加であることを示せ

上の問題の添削をお願いします。
あやふやで自信ないです。

任意の c,d∈[0,1] (ただし c＜d) をとる

f(c) ≧ f(d) とする

f(c)≧f(1)≧f(0) とすると

中間値の定理より、ある c'∈(o,c) が存在して

f(c')＝f(1) を満たす　　よって矛盾

f(1)＞f(c)＞f(d)　とすると

中間値の定理より、ある d'∈(d,1) が存在して

f(c) = f(d') を満たす　よって矛盾

以上より　f(c) ＜ f(d)　　■

よろしくおねがいします。

回答No.2

rinkun · ベストアンサー

> (ii) f(a)＞f(1) とすると
> 中間値の定理より、ある a'∈(0,a) が存在して f(a') = f(a) を満たす
ここは
　f(a') = f(1)
ですね。

あとは
> 任意の a,b∈(0,1) (ただし a＜b ) をとり
> f(a)＞f(b) を満たすとする
は
　a,b∈[0,1]で、a＜bかつf(a)＞f(b)を満たすものが存在すると仮定する。
の方が良いかと。
# a=0あるいはb=1の場合を省く理由はない

また
> (i) f(a) = f(1) とすると、a≠1 より矛盾
は
　f(a) = f(1) とすると、fが1:1よりa=1。これはa＜b≦1の仮定に反する。
くらい書いた方が良いと思う。

お礼

最後まで付き合ってくださり感謝です。
無事解決できました。
ありがとうございました。

回答No.1

rinkun

最初の仮定が
> f(c) ≧ f(d) とする
なのに
> f(1)＞f(c)＞f(d)　とすると
では
f(c)＝f(d)の場合が抜けている。

あと
> f(c)≧f(1)≧f(0) とすると
> f(1)＞f(c)＞f(d)　とすると
では、場合分けが分かりにくい。
f(c)≧f(1)の場合、f(1)＞f(c)の場合とはっきり場合分けすべき

補足

回答ありがとうございます。
rinkunさんの回答を参考に直してみました。
どうでしょうか?

任意の a,b∈(0,1) (ただし a＜b ) をとり
f(a)＞f(b) を満たすとする
このとき

(i) f(a) = f(1) とすると、a≠1 より矛盾

(ii) f(a)＞f(1) とすると
中間値の定理より、ある a'∈(0,a) が存在して f(a') = f(a) を満たす
よって矛盾

(iii) f(a)＜f(1) とすると
中間値の定理より、ある b'∈(b,1) が存在して f(a) = f(b') を満たす
よって矛盾

(i),(ii),(iii) より f(a)≦f(b) ■