部屋割りの方法

質問

（１）８人を２つの部屋Ａ、Ｂに入れる方法は何通りありますか。
　　　ただし、８人全員が同じ部屋に入ってもよいものとする。
（２）８人を２つの組Ａ，Ｂに分ける方法は何通りありますか。
（３）８人を２つの組に分ける方法は何通りありますか。

（１）２^8＝２５６通り

（２）（１）の場合から、８人と０人、０人と８人に分ける場合を除けばよいので、２５６－２＝２５４通り

（３）（２）のうち、同じものは２通りずつあるので、
　　　　２５４÷２＝１２２通り
であってますか？
また、２つの部屋（組）が３つ、４つになっても考え方は同じですか？

また、２が３、４になる場合もよければ教えてください。

回答No.3

nag0720

＃２です。訂正です。

式は合ってましたが、計算結果が違ってました。(６人のつもりで計算していました）
正しくは、
3^8－2^8×3＋3＝5796
4^8－3^8×4＋2^8×6－4＝40824

回答No.2

nag0720

＞また、２が３、４になる場合もよければ教えてください。

３、４の場合も考え方は同じですが、(2)は注意する必要があります。

(1)は、3^8、または、4^8
(3)は、(2)の数が分かれば、それを3!=6、または、4!=24で割れば答えが出ます。

(2)は、
３つの組A,B,Cに分ける場合は、
(1)の数から、８人を２つの組に分ける(１つの組が０になる)場合の数を引きます。
3^8－2^8×3
しかしそれでは、２つの組が０になる場合が重複して引かれています。
その分を調整すれば、答えは、
3^8－2^8×3＋3＝540

４つの組A,B,C,Dに分ける場合は、
(1)の数から、８人を３つの組に分ける(１つの組が０になる)場合の数を引いて、２つの組が０になる場合の重複分を足して、さらに、３つの組が０になる場合の重複分を引く必要があります。
4^8－3^8×4＋2^8×6－4＝1560

一般解は、
m人をn個の組A1,A2,A3,・・・・,Anに分ける場合の数は、

n^m－(n-1)^m×n＋(n-2)^m×n(n-1)/2－・・・・・＋(-1)^(n-1)×1^m×n
＝Σ[i=0→n]{(-1)^i×(n-i)^m×nCi}

回答No.1

mamoru1220

合っています。
部屋の組数が変わっても同じです。
ここまでお分かりのようであれば、出来ると思います。
補足入れていただければ、拝見します。

補足

８人を２つの組に分ける方法は、２５４÷２＝１２７通り
であってますか？