数A

質問

１．12人の生徒を次の方法で分ける分け方は何通りか。
　（ⅰ）4人ずつA,B,Cの部屋に入れる
　（ⅱ）4人ずつ3つの組に分ける
　（ⅲ）4人ずつ3つの組に分けるとき、a,b,cの3人はそれぞれ別の組になる

という問いなのですが、どのように解くのでしょうか。

（ⅱ）は12!/(4!4!4!) = 34650 通りのような気がしますが・・・

回答No.2

voice_koe · ベストアンサー

(i)
12人中4人がAに入り、残り8人中4人がBに入り、残り4人がCに入るので
12 C 4 * 8 C 4 * 4 C 4
A(a,b,c,d)B(e,f,g,h)とA(e,f,g,h)B(a,b,c,d)は重複ではない。

(ii)
たとえば、(a,b,c,d)(e,f,g,h)(i,j,k,l)と(e,f,g,h)(a,b,c,d)(i,j,k,l)は重複している。重複分を除くため(i)の答えを3!で割る

(iii)
a,b,cをA,B,Cに入れるので6通り、(a,b,c)と(a,c,b)は重複ではない。
3人ずつA,B,Cの部屋にいれるので 9 C 3 * 6 C 3 * 3 C 3 よって
6*9!/(3!3!3!)

補足
組分けのしかたと組分けしたものの並べかたの2段階になっている問題です。
(i)は組分けしたものが『すでに』順列になっています。
(ii)は順列から重複分を除いて組合わせにするということです。
順列の数 nPr = n!/(n-r)!
組合わせの数 nCr =nPr/r!
なので、 nPr : nCr = 1 : 1/r! という関係が成立しています。
(この問題では 3 P 3 : 3 C 3 = 1 : 1/3!)

簡単な例(4人を2人ずつに分ける)
[A,B]:
[(a,b),(c,d)],[(c,d),(a,b)]
[(a,c),(b,d)],[(b,d),(a,c)]
[(a,d),(b,c)],[(b,c),(a,d)]
組分けしたものの並べかたは、順列6通り、組合わせ3通り
(2 P 2 : 2 C 2 = 1 : 1/2!)

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_

わざわざ (i) (ii) (iii) と問題が並んでいるのは、「この順に解け」というメッセージなのです。

お礼

ご回答ありがとうございました。

補足

どのように導き出すのでしょうか。