平均点と確率

質問

ある教科のA君のテストの平均点は85点（100点満点）だったとします。
A君が次のテストで85点以上をとる確率は、1/2でいいのでしょうか？（違うような気がしてます）
これを解くとすると要素が不足してますか？（たとえば、偏差値？とか別の要素が必須ですか？）
では、A君が90点以上をとる確率は？
また、B君の平均点が80点とした場合、次のテストでB君がA君に勝つ確率は？
なんて求められるのでしょうか？
・・・高校数学をさっぱり忘れてしまった古～い卒業生より・・・

回答No.2

sono0315 · ベストアンサー

例えば85を基準としてどれだけ±の差があるのかを考えてみます。
最低が0点、最高が100とすると、下は－85、上は＋15までです。
下の方の点数(例えば7点とか)を取ったとすると平均85にするため
には足りない分の78点を他の回数のときに補わなければいけない。
(100点のとき最高で＋15だけ加算できるので少なく考えても
100点を6回は出さないと、このマイナス分は取り返せない)
点数が低い方が85からの差が大きいので、これを1回でも取って
しまうと、85より大きい点をたくさん取らなければいけない
ことが分かると思います。

つまり、非常に多くの回数をこなして、85平均を取れているという
場合、低い点数を85以上の点数でたくさんカバーしていると考える
と確率としては、85点以上を1/2より大きい確率でとれる可能性が
あると思います。ただし平均85になるように点を取った場合です。

平均80のBが勝つ確率。
例えば
A：83,80,84,81,97　平均85
B：86,81,72,98,63　平均80

Bの方が平均が低いが3勝2敗である。
平均が低くても勝ち越すことができるということ。
今取っている平均点から、次に取る点数を予測することは絶対に
できません。

Aの平均点の推移は
83→81.5→82.3→82→85
Bの平均点の推移は
86→83.5→79.6→84.25→80

ここで3回目と4回目に着目するとAの平均は82.3、Bは79.6
Aの平均が高いです。しかし4回目はBが勝ってます。

平均点は推移していくもので、次に0点なのか100点なのかは分かりません。
なぜなら、AとBが勝負して、その点数を含めた時点では
Aは平均85ではないし、Bは平均80ではないわけだから。

なので、Bが勝つ確率は1/2となります。

お礼

偏差値を使用しない場合でも、こういう考え方をすれば納得できる説明になりますね。
A君が0点をとった場合のような極めて極端なケースを考えてみるというのは、驚きでした。
わかりやすい文章で、理解しやすく、大変ありがとうございました。

回答No.1

haragyatei

テストに対する仮定が抜けています。同じようなテストが何回かあって、それらのたくさんのテストの結果（１０回くらい）の平均点と標準偏差がわかればつぎの試験で８５点以上取れる確率がわかります。また１０回くらいの試験の平均が８５点だと次回８５点以上取れる確率は１／２で、８５点以下は１／２と言える可能性があります。標準偏差（分散）が必要なのはその人の点数のバラツキが要るからです。

お礼

やはり偏差値は必須ですね。
ありがとうございました。