質量がばらついているサンプルから30個抜き出したときの合計質量について

質問

質量のばらつきの分布は以下の通りです。

範囲下[g]　範囲上[g]　範囲の発生確率　　
　-∞ 　～　　0.242　　　0.00001472
0.242 　～　　0.244　　　0.00036441
0.244 　～　　0.246　　　0.00489412
0.246 　～　　0.248　　　0.03503498
0.248 　～　　0.25　 　　0.13410668
0.25　　～　　0.252　　　0.27521241
0.252 　～　　0.254　　　0.30327643
0.254 　～　　0.256　　　0.17949719
0.256 　～　　0.258　　　0.05699261
0.258 　～　　0.26　 　　0.00968488
0.26　　～　　0.262　　　0.00087813
0.262 　～　　0.264　　　0.00004234
0.264 　～　　+∞　　　　0.00000110

表の通り、1個抜き出すのであれば確率は分かっています。
（正規分布からEXCELのNORMDIST関数で計算）
知りたいのは30個の合計重量が、
0.25×30 ～ 0.254×30、つまり、7.5 ～ 7.62に収まる確率です。
1個の重量が0.25～0.254に収まる確率は、
上の表から、0.57848884と分かりますが、
単純にこれを30乗すると、
7.393×10^-8 という小さい確率になってしまいます。
重要なのは合計重量なので、
例えば0.249が1個混じっても、0.255が1個バランスよく混じれば、
相殺されて、適合する重量になると思います。
これを含めて計算する方法はあるのでしょうか？
実際に30個抜き出す実験をして、
確率を求めるしかないのでしょうか？
ちなみにサンプルを抜き出す母数は4万個程度です。

何卒よろしくお願いいたします。

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

＞（正規分布からEXCELのNORMDIST関数で計算）

が、よくわかりませんが、任意の一個を抜き出したときの重量の平均μと分散σ^2が既知であり正規分布に従うということですよね。

なおかつ、母数が十分に大きくて標本抽出で実質的にこの平均と分散が変わらないとしてよいということであれば、n個取り出したときの合計は、nが十分に大きいとき、平均がnμ、分散がnσ^2の正規分布に従います（中心極限定理）。n=30ならほぼ従っているとしてよいだろうと思います。

あとはｎ=30としてμ、σ＾2に適切な値を使い、この確率密度関数(ガウス関数)を7.5 ～ 7.62で積分するだけです。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%A5%B5%E9%99%90%E5%AE%9A%E7%90%86

お礼

早速の御回答ありがとうございます。
なるほど、中心極限定理というものがあるのですね。
確認してみます。

>>あとはｎ=30としてμ、σ＾2に適切な値を使い、
>>この確率密度関数(ガウス関数)を7.5 ～ 7.62で積分するだけです。
μ、σ＾2に関して適切な値というのは、n倍するということだと思いますが、標準偏差もn倍していいのでしょうか？

よろしくお願いいたします。

回答No.2

Tacosan

確率変数の和の期待値は個々の確率変数の期待値の和.
独立な確率変数の和の分散は個々の確率変数の分散の和.
だから, 「標準偏差を n倍する」のではなく「分散を n倍する (標準偏差では √n倍する)」ことになります.

お礼

基本的なことを聞いてしまい申し訳ございませんでした。
√n倍で計算してみます。

ありがとうございました。