図形の計量の問題です。

質問

問題）三角形ABCにおいて，BC=a,CA=b,AB=cとする。辺BCの中点をMとし，中点Mの長さをpとする。
（1）p^2をa,b,cを用いて表しなさい。
（2）三角形ABCの3本の中線のうち，長さがルート（a^2+b^2+c^2）/2以上のものが少なくとも1本あることを示しなさい。

（１）はパップスの中線定理でなんとかなったのですが，（２）がどうしてもわかりません…。
（１）を使うということは確かだと思うのですが＾＾；そこから先に進みません。だれか、手助けをお願いします。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

＞少なくとも1本あることを示しなさい

全ての中線が　（a^2+b^2+c^2）/4　以下であると仮定して、その仮定が矛盾する事を示すと良い。

3つの中線を2乗したものは、（2b^2+2c^2-a^2）/2、（2a^2+2b^2-c^2）/2、（2a^2＋2c^2-b^2）/2　である。
これらが全て、（a^2+b^2+c^2）/4　より小さいから、、（2b^2+2c^2-a^2）/2＜（a^2+b^2+c^2）/4、（2a^2+2b^2-c^2）/2＜、（a^2+b^2+c^2）/4、（2a^2＋2c^2-b^2）/2＜（a^2+b^2+c^2）/4　である。

つまり、b^2+c^2＜a^2、c^2＋a^2＜b^2、a^2+b^2＜c^2　となる。
ところが、3辺を加えると、2*（a^2+b^2+c^2）＜a^2+b^2+c^2 →　a^2+b^2+c^2＜0となり、a、b、cは全て実数から矛盾する。
この矛盾は、全ての中線が　（a^2+b^2+c^2）/4　以下であると仮定したことによる。
よって、題意を満たす中線は少なくても1本存在する。

お礼

簡潔にまとめてあって、みやすかったです＾＾
たすかりました＾＾

回答No.3

htms42

前の質問と同じですね。
おかしいと指摘されていたところも直っていません。

（１）が出来ただけですか。
前は（１）について「余弦定理で解く」と書いておられたのですが、
余弦定理はだめだったのですか。
パップスの中線定理なんて私は知りません。
余弦定理で出来るのですからパップスの何とか定理を調べて使おうとも思いません。

△ＡＢＣの中線ＡＭを２倍に延長した点をＤとします。四角形ＡＢＤＣは平行四辺形です。２本の対角線があります。
平行四辺形ですから∠Ａ＋∠ＡＢＤ＝１８０°です。
これに対して余弦定理を使います。
（「第二余弦定理」なんて知りません。）
ａ^2＝ｂ^2＋ｃ^2－２ｂｃｃｏｓ（∠Ａ）
ＡＤ^2＝４ｐ^2＝ｂ^2＋ｃ^2＋２ｂｃｃｏｓ（∠Ａ）
ｃｏｓ（∠Ａ）を消去するとｐ^2が求められます。
４ｐ^2＝２ｂ^2＋２ｃ^2－ａ^2
です。

（２）は＃１に書かれている方法が簡単です。
でも多分、出来ないでしょうね。
ａ、ｂ、ｃについて対称なはずです。
３つの中線の長さをｐ、ｑ、ｒとします。
４ｐ^2＝・・・
とわかっているのですからａ→ｂ、ｂ→ｃ、ｃ→ａと循環させれば
４ｑ^2＝・・・
４ｒ^2＝・・・
とすぐに求められます。
この３つを足します。
ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2＝(３／４)（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）
になります。
ｐ≧ｑ≧ｒとします。
３ｐ^2≧ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2＝(3/4)(ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）
ｐ^2≧(1/4)（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）／４
ｐ≧(1/2)√（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）

お礼

ありがとうございました＾＾
詳しくてわかりやすかったです＾＾

回答No.1

rnakamra

一番手っ取り早い方法は、
A,B,Cをそれぞれから引いた中線について式を立て、それを全部足してみることです。足した和がどうなるかで判断できるでしょう。

それと問題の文は正しく書いてください。
点に長さなどありません。(中点Mの長さではなく、中線AMの長さですね。)

お礼

すみません＾＾；
同じ問題見ていてこれを打ったので、わすれてました。
本当にもし訳ありません。
以後きをつけます。

あと、分かりやすい説明いつもありがとうございます＾＾ｗ