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図形と計量
△ABCにおいて、辺BC,CA,ABの長さをそれぞれa,b,cとする。 (1)cos^2A=cos^2B-sin^2Cのとき、∠Aの大きさを求めよ。 (2)b cosA=a cosBかつC=70°のとき、∠Aの大きさを求めよ。 なにからしていいのかも分かりません。教えてください(´;ω;`)
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乗りかかった船なので一応 解答例をアップしておきます。 (1) 余弦定理より cosA = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc) …(1) また、正弦定理より a/sinA = b/sinB = c/sinC = k とすると a=k・sinA b=k・sinB c=k・sinC なので、これらを(1)式に代入すると cosA ={(k・sinB)^2 +(k・sinC)^2 - (k・sinA)^2}/{2・(k・sinB)・(k・sinC)} =(sin^2B + sin^2C - sin^2A)/(2・sinB・sinC) …(1') ここで、条件より cos^2A = cos^2B - sin^2C = 1 - (sin^2B + sin^2C) ∴sin^2B + sin^2C = 1 - cos^2A …(2) (2)を(1')に代入して cosA = (1 - cos^2A - sin^2A)/(2・sinB・sinC) = (1 - 1)/(2・sinB・sinC) = 0 ∴∠A = 90°(=π/2) ___________________________________________________________________________ (2) △ABCにおいて b・cosA + a・cosB = c …(2.1) である。 ここで、条件b・cosA = a・cosB と(2.1)式より 2・b・cosA = 2・a・cosB = c ∴ b・cosA = a・cosB = c/2 ここで辺ABの中点をDとすると、 二辺とその挟むが同じなので△CAD≡△CBD。 従って△ABCは a = b の二等辺三角形である。 ∴∠A = ∠B = (180°- ∠C)/2 = (180°- 70°)/2 = 55° (2別解) 余弦定理より cosA = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc) …(1) cosB = (a^2 + c^2 - b^2)/(2ac) …(2) ここで、条件 b・cosA = a・cosB に(1),(2)を代入すると b・(b^2 + c^2 - a^2)/(2bc) = a・(a^2 + c^2 - b^2)/(2ac) ∴ a = b 従って△ABCは a = b の二等辺三角形である。 ∴∠A = ∠B = (180°- ∠C)/2 = (180°- 70°)/2 = 55°
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- watecolor1969
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(2)のヒントを出しておきます。 b・cosA + a・cosB = c という事実を使うと良いと思います。
- watecolor1969
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(1)は∠Aを求めたいので、 ∠Aについての余弦定理を適用して cos∠A= ・・・(1) の形にする。 次に、正弦定理の2Rをkとでもおいて a,b,c,を、kとsinA,sinB,sinCで表す。 その式を(1)に代入し、 cos^2A=cos^2B-sin^2Cを少し変形すると 見えてくのではないでしょうか? (2)は少し自分で考えてみてください。