４変数方程式が解けなくて困っています！！

質問

以下の方程式が解けなくて困っています。
w1,w2...の正確な値を出すのでは無く、w4/w1, w3/w2, w2/w3, w1/w4
の比を求めたいのですが、式変形すると土壷にはまっていってます。
ヒントだけでもよろしいのでお願いします！！

w1 = -a(30w2 - 18w3)
w2 = a/2(w1 - w4)
w3 = -a/3(5w1 - 3w4)
w4 = a(60w2 -30w3)

※w1, w2は、全て数字が下付きの異なる変数です。

回答No.24

noname#101087

>楽チン？
当方の筆算能力がプアなだけ。消去法がいちばん楽ちん、という意味。
たとえば「特性方程式」。
>　60a^4+105a^2+1=0 …(▲)
まともな 4*4 行列勘定は手に負えず、敬遠。
試しに 2*2 ブロック行列で「特性方程式」にチャレンジしたが、文字a を含むと、これすら難航。
　λ^4 + 105λ^2 + 60 = 0
へようやく着到。
同じモデルでも、「勘定してみろ」といわれりゃ、やはり消去法がいちばん楽ちん。

肝心の質問者さんにお訊ねします。

原題を「w1/w4, w2/w3 を数値で示せ」と解すれば、
w1/w4 = p, w2/w3 = q として、
　p = -(30q - 18)/(60q - 30)
　q = -(3/2)(p - 1)/(5p - 3)
　　　↓
　80p^2 - 15p - 33 = 0
「a の数値を示せ」といわれりゃ、
　a^2 = 2pq/{(30q - 18)(p-1)}
ですけど、いかが？

回答No.23

arrysthmia

楽チン？

回答No.22

noname#101087

訂正。
-----

　W1 = {33a^2/(1+45a^2)}W4

回答No.21

noname#101087

さらなる続編。
#14 から、たとえば W1 を算定。

>w1 = -a(30w2 - 18w3)　　…(1)
>w2 = a/2(w1 - w4)　　　…(2)
>w3 = -a/3(5w1 - 3w4)　　…(3)

(非正則条件 a=0, 1+45a^2 = 0 の場合は除外)
　(1) → W3 = (1/18a)W1 + 5/3
これと (2) を (3) へ代入。
　aW4 = (5a/3)w + w3 = {(1+45a^2)/18a}W1 - (5a/6)W4
　{(1+45a^2)/18aW1} = (11a/6)W4
　W1 = {33a/(1+45a^2)}W4

W2, W3 も簡単に出ます。
あとは、
>w4 = a(60w2 -30w3)
を勘案して a を算定。
(W1/W4) etc の答えは数値になる。

逆行列からの勘定と同じ理屈＆結果なのに、こっちのほうが楽チン？

回答No.20

noname#101087

蛇足ですけど、 #14 の補遺。

>w1 = -a(30w2 - 18w3)
>w2 = a/2(w1 - w4)
>w3 = -a/3(5w1 - 3w4)
>w4 = a(60w2 -30w3)
　　　↓
>w1/w4 = p, w2/w3 = q とおけば、
>　p = -(30q - 18)/(60q - 30)
>　q = -(3/2)(p - 1)/(5p - 3)
>このペアから p の 2 次方程式を作ってみると？
>　80p^2 - 15p - 33 = 0
>これなら、実根があります。

…と p, q を出したあと、(W1W2)/(W3W4) から
　a^2 = 2pq/{(30q - 18)(p-1)}
が得られる。
　　　↓ これ
>　 60a^4+105a^2+1=0 …(▲)

Now, think time !

回答No.19

arrysthmia

いや…　この問題の場合は、No.2 に既に書いてあるように
固有値 1/a が全て単根だから、固有空間はどれも一次元で、
「結果的に」w1:w2:w3:w4 は、各 a について一意に定まる。
だから、式を弄っていれば何処かで話は繋がるのだけれど…

No.4 に、w1:w2:w3:w4 が定まる理由だけ書き添えておくのが、
簡単明瞭かと。

回答No.18

noname#101087

やっと #14 とのコネクションです。

>w1/w4 = p, w2/w3 = q とおけば、
>　p = -(30q - 18)/(60q - 30)
>　q = -(3/2)(p - 1)/(5p - 3)
>このペアから p の 2 次方程式を作ってみると？
>　80p^2 - 15p - 33 = 0
>これなら、実根があります。

この例でみると、p は異なる二つの実根。

「上の三行について w4 を既知数とみなし、w1～w3 を求める」と、w1/w4 = p は a^2 の有理式です。
>　 60a^4+105a^2+1=0 …(▲)
の解 a^2 は異なる二つの負根。
それぞれを使って w1/w4 を出してみると、#14 の異なる二つの実根 p になる。

…のでした。お試しを。

回答No.17

noname#101087

#7 からの続編。

ようやく info22 さんの式(▲)に到達。
　　↓
>　 60a^4+105a^2+1=0 …(▲)
>このaについて方程式の4つの解は全て純虚数

参考までに、上三行の前三列まで (1+45*a^2 = 0 のときのみ行列式 = 0) の逆行列をメモっておきます。
(チェックしてみて)
　　↓
　|　1　　　　30a　　　　 18a |
　|a/2　　 -1-30a^2　　9a^2 | * 1/(1+45a^2)
　|-5a/3　 -50a^2　 1+15a^2|

>・たとえば、上の三行について w4 を既知数とみなし、w1～w3 を求める。
>　それを末尾行へ代入して、成立するように a を決める。

…とすれば、式(▲)が得られる。
遅ればせながら、「具体的なハナシ」の入り口にたどり着けたのかな？

回答No.16

arrysthmia

←No.14

その方程式に実根はありますが、
式の導出過程から見て、この問題の解法としては
必要性も、十分性も、どちらも欠いています。

w1/w4 に解が存在すると仮定すれば、
その p は解のひとつになります。
しかし、w1/w4 に解が存在するかどうかも、
No.14 の p がその全てであるかどうかも、
どちらも確かめてありません。

そのための No.9 です。
a を求めなければ始まりませんが、
a を求めただけでは終われないのです。

回答No.15

arrysthmia

←No.12

No.5 は、No.4 の
＞ 解Ｗを定数倍しても解なのは、明らかですから、
＞ 何らかの正規化か、比率だけかにより解が定まります。
に噛み付いてみただけです。

a を求めるのは、先決ですが、
a が求まったからといって、w1:w2:w3:w4 が決められるとは
限らない…　ことの実例として、No.5 の例を挙げてみました。
その部分への言及が必要だと。
No.10 の方は、理解して下さったようですよ。