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複素解析における極の求め方について
問題 積分「∫{-∞→∞} 1/(1+x^4) dx」について考える。({ }は積分範囲) (1) f(z) = 1/(1+z^4) とするとき、f(z)の上半平面における極を全て求め、その位置も明示せよ。 (2) (1)の結果に基づいて、上記の積分の値を求めよ。 上記の問題について、おそらく(1)で極が求まると、それを利用して留数が求まり、留数定理を利用して無限積分の値を求めると考えているのですが、極はどのように求めればいいのでしょうか？
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- arrysthmia
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- info22
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分数関数は中高の数学で出てくると思いますが、極とは何か習っているはずだと思います。分数関数の分母をゼロとする変数の値のことです。 この質問での極は 1+z^4=0の解が極です。 この方程式が解けませんか？ z^4+1=(z^2-i)(z^2+i)=(z-z1)(z+z2)(z+z3)(z+z4) と因数分解出来ますね。 複素平面を習ったら、分母＝0の解を複素平面状にプロットできませんか？ 上で求めた z1,z2,z3,z4をプロットするだけ。 質問があるなら、やった解答や途中計算を補足に書いて、分からない箇所について質問して下さい。
補足
極とはそういう意味だったのですね。教科書にはローラン展開が～という書き方をしていて、私にはよくわかりませんでした。わかりやすく説明していただき、ありがとうございました。 それで、方程式を解いたところ、 z^4+1=(z^2-i)(z^2+i)=0 z^2-i=0について、z=±i z^2-i=0について、z=±√(-i)=±i√i=±i^(3/2) と計算することができました。このうち、上半平面に位置するのは+iと+i^(3/2)という解答になりました。 あと、問題の読み間違えで、「その位置も明示せよ」ではなく、「その位数も明示せよ」という問題だったのですが、位数についてはどのように求めればよいのでしょうか？
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お礼
おっしゃるとおり、複素解析についてしっかり勉強したいと思います。 回答ありがとうございました。