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limの問題の解き方を教えてください
解き方がわからなくて困っています。 次の極限値f(a),f´(a)で表せ。ただし、a≠0、f´(a)≠0とする。 lim 1/h{f(a+h)/a+h-f(a-h)/a-h} h→0 答えは 2/a^2{af´(a)-f(a)}です。 よろしくお願いします。
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- mister_moonlight
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何れにしても、微分の定義に戻る問題だが、大変に書き込みにくい。 f(a+h)/（a+h）-f(a-h)/（a-h）＝（分子）/（a+h）*（a-h）とする。 h→0の時、分母＝（a+h）*（a-h）→ a^2 ‥‥(1) 分子＝（a-h）*f(a+h)-（a+h）*f(a-h)＝展開して＝a{f(a+h)-f(a)}ーa{f(a-h)-f(a)}-h*{f(a+h)＋f(a-h)}。 ここで、1/hを使うと、分子/h＝a{f(a+h)-f(a)}/hーa{f(a-h)-f(a)}/（-h）-{f(a+h)＋f(a-h)} → h→0から、a*f´(a)＋a*f´(a)-2f(a)＝2{f´(a)-f(a)}。‥‥(2) よって、lim 1/h{f(a+h)/a+h-f(a-h)/a-h}＝2/a^2{af´(a)-f(a)}。 h→0
お礼
回答ありがとうございます。 分からないところとして、３行目の展開ですが どのように展開しているのですか？ また、途中でf(a)が出てきているのはどうしてですか？
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