変数が指数な式の最大値の問題とベクトルの問題

質問

閲覧ありがとうございます。
いまいちよくわからない問題があったので教えてもらえたら嬉しいです。

問　　座標平面上の点(x,y)が、直線x+y=2の上を動くとき、 -4^x-4^y+2^(x+1)+2^(y+1)+3の最大値を求めよ。

一応自分の解き方を書いておきます。
問題文の条件より、
y=2-x
となり、これを与式に代入して指数をすべてxに統一したのですが・・・この次どうすればよいのかわかりません。

また、別の問題です。

問　　一辺の長さが1の正五角形ABCDEを考える。ただし、必要ならcos36°＝{√(5)+1}/4　、cos72°＝{√(5)-1}/4　を用いてもよい。

(1)線分ACの長さを求めよ。
(2)a↑＝AB↑、b↑＝BC↑とするとき、DE↑およびEA↑をa↑とb↑とで表せ。

こちらも自分の解答を書いておくと、
(1)の方は問題文の条件から簡単に
AC=2/{√(5)-1}
と求まりました。
(2)のほうは全くのお手上げ状態です・・・
　BC↑がAD↑と平行であることを利用したりしようとしたんですけど、変数が多くなりすぎて挫折してしまいました。

どなたかこの二つの問題の解説をお願いします。

最後までよんでいただきありがとうございます。

回答No.1

tenti1990 · ベストアンサー

座標平面上の点(x,y)が、直線x+y=2の上を動くとき、 -4^x-4^y+2^(x+1)+2^(y+1)+3の最大値を求めよ。
これはおそらく2^x+2^y=tでおいてx+y=2も使ってyをtであらわせばよいのだと思います。
計算していないのであっているかどうかわかりませんが…

とりあえず一番の解答速報ということで
今二つ目を考え中です…

回答No.4

mister_moonlight

ヒントだけ。

＞(1)線分ACの長さを求めよ

正5角形は半径1の円に内接するから、中心をＯとして、∠ＡＯＢ＝72°＝2θとすると、△ＡＢＯで余弦定理から、ＡＢ＝ＢＣ＝2*sinθ＝aとする。
今度は、△ＡＢＣに余弦定理を使うと、∠ＡＢＣ＝4θ、ＡＢ＝ＢＣ＝2*sinθ＝aより求められる。
その過程で、cos36°＝{√(5)+1}/4　、cos72°＝{√(5)-1}/4　を使うだろう。
続きは、自分でやって。

回答No.3

tenti1990

辺の長さが1の正五角形ABCDEを考える。ただし、必要ならcos36°＝{√(5)+1}/4　、cos72°＝{√(5)-1}/4　を用いてもよい。

これは
DE↑は平面図形でACの長さを求めて無理やり
長さの比で　k倍のa↑+b↑　とすれば良いのでは？

EA↑も同様にBDの実数倍とすれば…
BDはBD↑=a↑+(1/k)b↑で求められますので

二つ目完成です。
しかしもっと良いやり方があるでしょう…

お礼

わかりやすかったです！
ありがとうございます！！

回答No.2

mister_moonlight

1つだけ、答えておく。次回から、1つの質問で1つの問題にするように。

＞問　　座標平面上の点(x,y)が、直線x+y=2の上を動くとき、 -4^x-4^y+2^(x+1)+2^(y+1)+3の最大値を求めよ。

2＾x＝a、2＾y＝bとすると、a＞0、b＞0.
又、x+y＝2より、ab＝2＾（x+y）＝4.　a＋b＝mとすると、a＞0、b＞0から、a＋b≧2√（ab）→　m≧4　‥‥(1)
-4^x-4^y+2^(x+1)+2^(y+1)+3＝-{2＾（2x）＋2＾（2y）}＋2*2＾x＋2*y＋3＝-（a＾2＋b＾2）＋2（a＋b）＋3＝‥‥＝-m＾2＋2m＋7＝（m-1）＾2＋8　‥‥(2)
あとは、(1)の範囲で(2)の最大値を求めるだけ、続きは、自分でやって。