三角形の角と辺の長さの関係に関する問題(立教)

質問

今年の立教大学の問題です。わからないのでお願いします。

三角形ABCにおいて,各辺の長さをそれぞれAB=x,AC=y,BC=zとおき,
∠BAC=θとおく.またx,y,zは

　　　　　　　x+y+z=a, xy=z

をみたすものとする.ただし,aは正の実数である.このとき,次の問(i)～(iii)に
答えよ.

(i) cosθをaとzの式で表せ.
(ii) x+yとxyをそれぞれaとcosθの式で表せ.
(iii) θ=π/3 のとき、aのとり得る値の最小値を求めよ. また,そのときのx,y,zを求めよ.

回答No.1

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(i)
余弦定理より
cosθ=(x^2 +y^2 -z^2)/(2xy)
={(x+y)^2-2xy-z^2}/(2xy)

x+y+z=a, xy=z の関係を代入してx,yを消去

cosθ={(a-z)^2-2z-z^2}/(2z)
=(a^2)/(2z)-(1+a) …(1)

(ii)
(1)から
(a^2)/(2z)=cosθ+1+a
z=(a^2)/{2(1+a+cosθ)}

このzをx+y+z=a, xy=z の関係に代入して
x+y=a-z=a-(a^2)/{2(1+a+cosθ)} …(2)
xy=z=(a^2)/{2(1+a+cosθ)} …(3)

(iii)
θ=π/3のとき cosθ=1/2なので
(3),(2)は
xy=z=(a^2)/(2a+3) …(4)
x+y=a-z=a(a+3)/(2a+3) …(5)
2次方程式の解と係数の関係からx,yは次の2次方程式の2つの解
t^2-t{a(a+3)/(2a+3)}+(a^2)/(2a+3)=0　…(6)
x,yの実数条件から判別式D≧0なので
a^2-2a-3=(a+1)(a-3)≧0
３辺の和x+y+z=a>0なので　a+1>0　
　a-3≧0 ∴a≧3
aの最小値　a=3
この時(4),(5),(6)から　x=y=z=1