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三角形の角と辺の長さの関係に関する問題(立教)
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(i) 余弦定理より cosθ=(x^2 +y^2 -z^2)/(2xy) ={(x+y)^2-2xy-z^2}/(2xy) x+y+z=a, xy=z の関係を代入してx,yを消去 cosθ={(a-z)^2-2z-z^2}/(2z) =(a^2)/(2z)-(1+a) …(1) (ii) (1)から (a^2)/(2z)=cosθ+1+a z=(a^2)/{2(1+a+cosθ)} このzをx+y+z=a, xy=z の関係に代入して x+y=a-z=a-(a^2)/{2(1+a+cosθ)} …(2) xy=z=(a^2)/{2(1+a+cosθ)} …(3) (iii) θ=π/3のとき cosθ=1/2なので (3),(2)は xy=z=(a^2)/(2a+3) …(4) x+y=a-z=a(a+3)/(2a+3) …(5) 2次方程式の解と係数の関係からx,yは次の2次方程式の2つの解 t^2-t{a(a+3)/(2a+3)}+(a^2)/(2a+3)=0 …(6) x,yの実数条件から判別式D≧0なので a^2-2a-3=(a+1)(a-3)≧0 ３辺の和x+y+z=a>0なので a+1>0 a-3≧0 ∴a≧3 aの最小値 a=3 この時(4),(5),(6)から x=y=z=1
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