数I

質問

1、x^2-4xcos●-(2sin^2●+cos●+1)=0・・・【1】について、次の問いに　答えよ。ただし0゜≦●≦180゜とする。
　1)x=-1が【1】の1つの解であるとき、●の値を求めよ。
　2)【1】は常に相異なる2つの実数解をもつことを示せ。

　1)はまず【1】にx=-1を代入して、
1+4cos●-2sin^2●-cos●-1=0
-2sin^2●-cos●=0
　　 -2(1-cos^2●)-cos●=0
(2cos●-1)(cos●+2)=0
-1≦cos●≦1なので、cos●=-2は不適
　　よってcos●=1/2なので、●=60゜　　でいいんですか??
　2)はどうやって示せばいいのでしょうか??
　　D>0とか使うんでしょうか??

2、AB=AC=1である△ABCの辺AC上に点Dがあって、AD=BD=BC=aを満たして
　いる。●=∠BACとおくとき
　1)∠ABCを●を用いて表し、●の値を求めよ。
　2)aの値を求めよ

　1)は△ABCと△BCDが相似だから∠BAC=∠CBD
　　AD=BDより∠BAC=∠ABDなので、∠BAC=∠CBD=∠ABD
　　よって∠ABC=2●　でしょうか?
　　●の値はどう求めればいいのですか?
　2)は分かりません。1)が分からないでもできますか?

回答No.1

lick6 · ベストアンサー

x^2 - 4xcosθ - (2sin^2θ + cosθ + 1) = 0
(1) やり方はＯＫですが、途中で cosθ の係数 3 が抜けてます。
打ち忘れでしょうか。
x = -1 を代入して
1 + 4cosθ - (2sin^2θ + cosθ + 1) = 0
3cosθ - 2sin^2θ = 0
2cos^2θ + 3cosθ - 2 = 0
(cosθ + 2)(2cosθ - 1) = 0
(2)これも考え方はＯＫです。
D/4 = 4cos^2θ + (2sin^2θ + cosθ + 1)
　　　 = 2cos^2θ + cosθ + 3
　　　 = 2(cosθ + 1/4)^2 + 23/8 > 0
[2]
(1)これもできてますよ。
三角形の内角の和は 180°で、△ＡＢＣも二等辺三角形なので・・・
これでとけるはずです。
(2)比の問題です。
ＢＣ = 1 - a であり、貴方の考えた相似から 1:a = a:1-a
あとはこれを解いて a > 0 を考えてやればでますね。