１次変換の問題

質問

こんばんは、行列の一次変換の問題です。
2×2行列で１行ずつ書いていきます。
問
α>β>0 α^2+β^2=2, 2αβ=1 としA=[[α β],[-β,α]]とする。
(1)Ａがあらわす１次変換で点Ｐ(x,y)が、P'(x',y')に移るとき、角３∠POP'および線分の長さの比OP':OP,を求めよ。ただし、Ｏは原点をあらわす。

解答
α^2+β^2=2　α>β>0により
α=√2cosθ,β=√2sinθ(0＜θ＜π/4）
とおける。このとき、2αβ=1の条件から・・・
と最初に設定したものを代入し、θ=π/12を求め、
A=√2[[cosθ,sinθ],[-sinθ,cosθ]]として求めていきます

解答１行目から２行目にかけてがわかりません。
何でα=√2cosθ、β=√2sinθとおけるんですか？
代入したらあぁ確かに条件どおりに代入したら２になることはわかったのですが…

唐突にα=√2cosθ、β=√2sinθがおかれていてこれの意味するところ、何のためにこれをおこうとしたのかを教えていただけませんか。
それに加えて何でα=√２cosθ、β=√２sinθという数字をチョイスしたんですか、急にこの√2cosθがおもいつかない気がするんですが…
急にcos sinとどこの角度がわからないθまででてきて混乱してしまいました

質問文もちょっと乱雑でわかりにくいかもしれないないですが、何かわからないところがあったらごめんなさい。
どうか、よろしくお願いします

回答No.2

info22 · ベストアンサー

＞唐突にα=√2cosθ、β=√2sinθがおかれていてこれの意味するところ、何のためにこれをおこうとしたのかを教えていただけませんか。
これは行列Aがベクトルを定数倍し回転を与える線形変換の行列だからです。
α=√2cosθ、β=√2sinθとおく事で
定数倍の定数が√2、半時計周りの回転角がθとなり都合良いですからです。
行列Aの形を見たらこのことに気がつかないといけませんね。
回転の一次変換の行列の場合は
|A|=1となりますが
質問の問題では
|A|=α^2+β^2=2となりますから
この2の平方根√2が回転の一次変換に掛けられるわけです。
A=√2*[[cosθ,sinθ],[-sinθ,cosθ]]
前の√2が定数倍項、後ろの[[cosθ,sinθ],[-sinθ,cosθ]]が回転の一時変換行列です。定数倍項を行列要素の中に分配すると
A=[[√2cosθ,√2sinθ],[-√2sinθ,√2cosθ]
この行列の形式に無理やり一次変換行列[[α β],[-β,α]]
を当てはめると
α=√2cosθ、β=√2sinθ
となるわけですね。

お分かりでしょうか？

お礼

返事遅れて申し訳ありません。
私用で遅れてしまいました

詳しくありがとうございました
謎がすぱっととけて感激しました＾＾
そういうことだったんですね。

回答No.1

koko_u_

>何でα=√2cosθ、β=√2sinθとおけるんですか？
(α, β) が半径√2の円周上の点だから。